存瑞中学2022-2022学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题（存瑞部）一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B2.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为:有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（）A.15B.16C.18D.21【答案】C4.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B5.执行如图所示的的程序框图，则输出的()A.4B.C.5D.6【答案】B-10-\n6.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A.至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是C.第三季度平均收入为万元D.利润最高的月份是月份【答案】D7.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“或作品获得一等奖”；乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“,两项作品未获得一等奖”；丁说:“作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A.作品B.作品C.作品D.作品8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（）-10-\nA.B.C.D.【答案】A10.若函数满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.11.定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，。则的值为（ ）A.2022B.1010C.1008D.2【答案】B12.已知双曲线在左，右焦点分别为，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形.则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.二项式展开式中的常数项为__________．【答案】14.若满足约束条件，则的取值范围是__________．【答案】15.已知向量与的夹角为，且，若，且,则实数的值为__________．【答案】16.数列的前项和为，若，则__________．【答案】-10-\n三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值解：（1）在中，由正弦定理得，，，则，，（2）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，，整理得，，由正弦定理得18.如图，四棱锥中，底面为梯形，，.是的中点，底面，在平面上的正投影为点，延长交于点.(1)求证：为中点；(2)若，，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值.解：(1)连结，∵，是中点，，-10-\n∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴，∵在平面的正投影为，∴平面，∴，又∵，∴平面，∴，又∵，∴是的中点.(2)∵，，∴，∵平面，∴以为原点，，，分别为的正方向建立空间直角坐标系，∴，，，，∵，，∴，∴，∴是的外心，∵，∴是的重心，∴，设，∴，∴，又∵是平面的一个法向量，且平面，∴，∴，解得，∴，设是平面的法向量，∵，，∴，即，取，则，，∴∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.19.从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:-10-\n)组成一个样本，且将纤维长度超过315的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率；(3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望解：(1)1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为307.乙种棉花的纤维长度的中位数为318.4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀.(2)记事件为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”.则(3)由题意知，的可能取值是0,1,2,其相应的概率为,,,所以的分布列为012-10-\n20.已知椭圆的焦点坐标分別为,,为椭圆上一点，满足且(1)求椭圆的标准方程:(2)设直线与椭圆交于两点，点，若，求的取值范围.解：（1）由题意设，则，又，，在中，由余弦定理得，，解得，，，所求椭圆方程为（2）联立方程，消去得，则，，且…①设的中心为，则，，,,即，，解得…②把②代入①得，整理得，即解得-10-\n21.已知函数，曲线在点处的切线方程为(1)求的值；(2)证明:.【答案】（1）；（2）见解析详解：（1）解：，由题意有，解得（2）证明：（方法一）由（1）知，.设则只需证明，设则，在上单调递增，，使得且当时，，当时，当时，，单调递减当时，，单调递增，由，得，，设，，当时，，在单调递减，，因此（方法二）先证当时，，即证-10-\n设，则，且，在单调递增，在单调递增，则当时，（也可直接分析显然成立）再证设，则，令，得且当时，，单调递减；当时，，单调递增.，即又，22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点.（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若成等比数列，求的值.解：（1）由，两边同乘，得化为普通方程为将消去参数，得直线的普通方程为（2）把代入，整理得，，-10-\n由，得或，，，,,成等比数列，由的几何意义得，即，即，解得又，-10-
