数学一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．已知集合,集合,则（）A．B．{1}C．{－1}D．{－1,1}2．命题“”的否定是（）A．B．C．D．3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（）A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%4．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则的值为（）A.35B.33C.31D.295．实数为区间上的随机数，则关于的方程有实根的概率为（）A.B.C.D.6．已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知角是第二象限角,且,的图像关于直线对称,则（）A．B．C．D．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的表面积是（单位）（）-7-A．B． C．D．9.下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中为三个评阅人对该题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（）A．11B．10C．8D．710.函数的部分图象大致是（）11.已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.12.已知椭圆，椭圆的中心为坐标原点，点是椭圆的右焦点，点是椭圆短轴的一个端点，过点的直线与椭圆交于两点，与所在直线交于点，若，则（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第 象限．14．已知抛物线的焦点为F，其准线与轴相交于点K，直线过焦点F且倾斜角为，则点K到直线的距离为．15.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于．-7-16．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数在上是单调递减函数；②函数的值域是；③函数的图像不经过第一象限；④函数的图像关于直线对称；⑤函数至少存在一个零点三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分12分）在中，（1）求的值；（2）求的值.18．（本小题满分分）某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．（Ⅰ）估计成绩在80分以上学生的比例；（Ⅱ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．19．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，,为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到面的距离．20．（本小题满分分）如图，已知圆：，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知是轨迹的三个动点，与关于原点对称，且，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．-7-（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：(Ⅰ)圆的半径；(Ⅱ)的值．23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设P为曲线上的动点，求点P到上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.-7-解：（I）证明：连接为等腰直角三角形为的中点……………………2分又是等边三角形，………………………………4分又，即……………………6分（II）设点到面的距离为…………8分,到面的距离………………………………10分点到面的距离为……………………12分20解：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为，可知，，则，3分所以点Q的轨迹的方程为为．4分（Ⅱ）存在最小值．5分（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则．6分（ⅱ）方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为，设点，-7-联立方程组消去y得，，由，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为，同理可得点C的坐标满足，，则，，……8分则．9分由于，所以，当且仅当，即时取等号．综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC的面积取最小值，11分此时，，即，，所以点C的坐标为，，，．12分方法二、前同（ⅰ），记，则，所以，故，当，即时，有最大值，此时取得最小值．综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC的面积取得最小值．11分此时，，即，，所以点C的坐标为，，，．12分2-7-]当，，，∴．曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．而，即方程无实数解．故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直……12分-7-
