2022-2022学年度第一学期期中考试高三理科数学试题第I卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)2.复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.在区间[1，2]上任选两个数x，y，则y＜的概率为A．2ln2﹣1B．1﹣ln2C．D．ln24.在等比数列{an}中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于 A．2B．﹣2C．3D．﹣35.函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）6.若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=A．0B．1C．32D．﹣17.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．32B．18C．16D．108.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=A．0B．5C．45D．90-8-\n9.设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则A．f（x）的一个对称中心是（，0）B．f（x）在[]上是减函数C．f（x）的图象过点（0，）D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到y=3sinωx的图象10.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为A．B．C．D．11.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A．0B．1C．D．312.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是A．(－∞，0)B．(0,1)C.D．(0，＋∞)第II卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，= ．14.若实数满足，则的最小值为.15.已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|＞|FB|，则= ．16.在正三棱锥V﹣ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为 ．-8-\n三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠BAC＝60°，AC＝2，AB＝＋1.(1)求BC；(2)求△ACD的面积．18．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．19．汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等．某品牌汽车4S店为了了解A，B，C三种类型汽车质量问题，对售出的三种类型汽车各取前100辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车辆数如下表1.(1)某公司一次性从4S店购买该品牌A，B，C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车一年内需要维修的车辆数，求ξ的分布列及数学期望．(把各类型汽车维修的频率视为其需要维修的概率)．(2)该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如下表2.预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从＝bx＋a，(b＝－0.2，a＝－b)的关系，且该产品的成本是500元/件，为使4S店获得最大利润(利润＝销售收入－成本)，该产品的单价应定为多少元？表1车型ABC频数202040表2单位x(元)800820840860880900销量y(件)90848380756820．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离心率为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N-8-\n，且满足|＋|＝|－|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．已知函数f(x)＝.(1)当x≥0时，f(x)≤(m>0)恒成立，求实数m的取值范围；(2)求证：f(x)lnx<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求的取值范围．-8-\n滦县二中2022-2022学年度第一学期期中考试试题高三数学理科答案CDACDAACAABB13.314.15.3+216.17.(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝6，所以BC＝.(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，则sin∠ABC＝，又0°<∠ABC<120°，所以∠ABC＝45°，从而有∠ACB＝75°，由∠BCD＝150°，得∠ACD＝75°，又∠DAC＝30°，所以△ACD为等腰三角形，即AD＝AC＝2，故S△ACD＝1.18.(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直．以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以＝.易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,1,0)，所以·n＝·(0,1,0)＝0，所以⊥n.又EM⊄平面ABCD，所以EM∥平面ABCD.(2)当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下：因为＝(2，－2,1)，＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得取y1＝1，得平面PCD的一个法向量为n1＝(0,1,2)．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值为.设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)，＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．所以sinα＝|cos〈，n1〉|＝＝＝＝.所以9λ2－8λ＋4＝5，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD-8-\n所成角的正弦值为.19.(1)根据表格，A型车维修的概率为，B型车维修的概率为，C型车维修的概率为.由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝××＝；P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝××＝.所以ξ的分布列为：ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)设获得的利润为w元，根据计算可得＝850，＝80，代入回归方程得＝－0.2x＋250.所以w＝(－0.2x＋250)(x－500)＝－0.2x2＋350x－125000，该函数图象是开口向下，以直线x＝－＝875为对称轴的抛物线，所以当x＝875时，w取得最大值，即为使4S店获得最大利润，该产品的单价应定为875元．20. (1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)，由题意得S△BF1F2＝×2c×b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆x2＋y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，且满足|＋|＝|－|，则有·＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，解方程组得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0，x1,2＝，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，-8-\n要使·＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0，又8k2－m2＋4>0，所以所以m2≥，即m≥或m≤－，因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圆为x2＋y2＝，此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，而当切线的斜率不存在时，切线为x＝±，与椭圆＋＝1的两个交点为或，满足·＝0.综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．21.(1)∵x≥0，f(x)≤(m>0)恒成立，∴m2≥>0在x≥0时恒成立，即m≥在x≥0时恒成立．令g(x)＝(x≥0)，即g′(x)＝≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(0)＝1，∴m的取值范围是[1，＋∞)．(2)证明：要证f(x)lnx<，即证lnx<，∵x>0，∴x＋1>0，只需证lnx<ex－2.令h(x)＝ex－2－lnx，则h′(x)＝ex－2－，且h′(1)＝－1<0，h′(2)＝1－>0，∴必有x0∈(1,2)，使得h′(x0)＝0，即ex0－2－＝0，∴x0－2＝－lnx0.∴h(x)在(0，x0)上是减函数，在(x0，＋∞)上是增函数，∴h(x)min＝h(x0)＝ex0－2－lnx0＝＋x0－2＝>0，∴ex－2－lnx>0，即lnx<ex－2.故f(x)lnx<.22.(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有-8-\n（2）曲线C化为极坐标方程得：，设A（），B（），则|OA|=，|OB|====.23.（Ⅰ）当时，，当时，不等式等价于，解得，∴；当时，不等式等价于，即，∴解集为空集；当时，不等式等价于，解得，∴．故原不等式的解集为．（Ⅱ），∵原命题等价于，即，∴．-8-
