江西省新余市2022届高三数学上学期期末考试试题 理

江西省新余市2022届高三上学期期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1满足为虚数单位的复数()A．B．C．D．2设是非零向量,已知命题若则;命题若则则下列命题中真命题是()3若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝()A.2B.C.1D.4.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件5．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为(　　)A.B．2－ln3C．4＋ln3D．4－ln36．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　）-22-\n　A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）7.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.7208某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为(　　)A．πB．π＋C．π＋D．π＋．9在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（）A.B.C.D.10．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A.B.C.D.11．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)12已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.3D.2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，则公比q的值为14．函数的值域为．-22-\n15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________16．定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当的取值范围是．三．解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤)17．（12分）在中，角的对边分别为，且.①求角的大小；②求的取值范围.18．（本小题满分12分）某数学老师对本校2022届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)总计频数b频率a0.25（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2，将沿折起，使面面，连接，是棱上的动点．-22-\n（1）求证：（2）若当为何值时，二面角的大小为20．（本小题满分12分）已知椭圆C＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，，直线L:x=my+c与椭圆C交于两点M,N且当时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM,AN与直线：X=4分别相交于点P,Q,问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被X轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由21．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：-22-\n请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.（1）求证：；（2）求的值.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围.24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知正实数满足：.（1）求的最小值;-22-\n（2）设函数，对于（1）中求得的，是否存在实数，使得成立，说明理由.-22-\n高三数学模拟试卷(理)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1满足为虚数单位的复数()A．B．C．D．【解题提示】先解关于z的方程，再用复数的除法法则进行运算。【解析】选B.因为，所以2设是非零向量,已知命题若则;命题若则则下列命题中真命题是【解题提示】先判断命题和命题的真假，结合复合命题的真假判断方法得出答案.【解析】选A.当非零向量方向相同且都和非零向量垂直时,结论成立,但是不成立,可知命题是假命题,命题是真命题;而根据平行公理4知命题为真命题,命题是假命题.结合复合命题的真假判断方法知,选项（A）正确.3若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝()A.2B.C.1D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解析】选C.因为，令，得，所以，解得a＝1.-22-\n4.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【解题指南】小集合推出大集合．【解析】直线过定点在圆上，不妨设其为A点，而B点也在圆上，，因此必为直角，所以当的等价条件是．故选A5．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为(　　)A.B．2－ln3C．4＋ln3D．4－ln3【知识点】定积分在求面积中的应用．B13【答案解析】D解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx）+（3x﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3，故选：D．【思路点拨】-22-\n确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　）　A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．7.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720【知识点】排列组合.J2【答案解析】C解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240-120=600种，故选C．【思路点拨】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为(　　)．-22-\nA．πB．π＋C．π＋D．π＋8．C　解析：由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．∴S＝×2×＋×π＋×2π×1＝π＋．9在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（）A.B.C.D.【解题提示】把拆分为，再利用求解。【解析】选D.10．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：函数和函数互为反函数图像关于对称。则只有直线与直线垂-22-\n11．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)11．D　解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，故函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)＝0．所以－f(1)＜0，即f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D12已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.3D.2【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值【解析】选A.设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，-22-\n因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，则公比q的值为考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：分两种情况：当q=1时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当q=不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值．解答：解：当q=1时，S3=a1+a2+a3=3a1=3a3，成立；当q≠1时，得到S3=，a3=a1q2，又S3=3a3，所以=3q2，化简得：2q2﹣q﹣1=0，即（q﹣1）（2q+1）=0，由q≠1即q﹣1≠0，解得q=﹣．综上，公比q的值为1或﹣．故选C．点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．14．函数的值域为．【知识点】两角和与差的正弦函数．【答案解析】［－7，7］解析：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin（20°+x）+cos（20°+x），∴f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°）=3sin（20°+x）+[sin（20°+x）+cos（20°+x）]=sin（20°+x）+cos（20°+x）=sin（20°+x+φ）=7sin（20°+x+φ），∴f（x）∈[﹣7，7]，故答案为：[﹣7，7]．．-22-\n【知识点】两角和与差的正弦函数．15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________16．定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当的取值范围是[﹣，1]．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化．专题：计算题；压轴题．分析：首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用线性规划的知识即可求得结果．解答：解：把函数y=f（x）向右平移1个单位可得函数y=f（x﹣1）的图象∵函数y=f（x﹣1）得图象关于（1，0）成中心对称∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）成中心对称，即函数y=f（x）为奇函数∵f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）=f（t2﹣2t）且函数y=f（x）在R上单调递减∴S2﹣2S≥t2﹣2t在S∈[1，4]上恒成立即（t﹣s）（s+t﹣2）≤0∵1≤s≤4∴﹣2≤2﹣s≤1，即2﹣s≤s∴2﹣s≤t≤s作出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的△ABC，C（4，﹣2）-22-\n而表示在可行域内任取一点与原点（0，0）的连线的斜率，结合图象可知OB直线的斜率是最大的，直线OC的斜率最小∵KOB=1，KOC=故∈[﹣，1]故答案为：[﹣，1]三．解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤)17．（10分）在中，角的对边分别为，且.①求角的大小；②求的取值范围.-22-\n18．（本小题满分12分）某数学老师对本校2022届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)总计频数b频率a0.25（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.18.解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a=b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为×100%=65%.-22-\n（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==；P(X=4)==.随机变量X的分布列为X1234PE(X)=1×+2×+3×+4×=19.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2，将沿折起，使面面，连接，是棱上的动点．（1）求证：（2）若当为何值时，二面角的大小为-22-\n(2)所以如图建立空间直角坐标系AB=2,则,B(0,0,),D(0,,0)E(1,0,0),C(2,,0),),,设,设平面PDE的法向量为,则即易知平面CDE的法向量为-22-\n解得所以当时，二面角的大小为。20．（本小题满分12分）已知椭圆C＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，直与椭圆C交于两点M,N且当时，M是椭圆C的上顶点，且△的周长为6.（1）求椭圆的C方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM,AN与直线：X=4分别相交于点P,Q，问当M变化时，以线段PQ为直径的圆被X轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由20.解：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：解得：，所以椭圆方程是：；…………………………………………………………5分（1）当时，（2）直线的方程为：，（3）此时，（4）点的坐标（5）分别是，又点坐标（7）是，（8）由图可以得到-22-\n两点坐标（9）分别是，（10）以为直径的圆过右焦点，（11）被轴截得的弦长为6，（12）猜测当变化时，（13）以为直径的圆恒过焦点，（14）被轴截得的弦长为定值6，（15）………………………………………………………………12分证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分由方程组得到：，所以：，……………………………………………11分从而：=0，所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6.……………14分21．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：21.解：（1），当时，在上恒成立，-22-\n函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．…………4分（注：分类讨论少一个扣一分。）（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，………9分又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．………………12分-22-\n请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。PABCDE22题图O22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.（1）求证：；（2）求的值.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围.24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知正实数满足：.（1）求的最小值;（2）设函数，对于（1）中求得的，是否存在实数，使得成立，说明理由.22.解：（1）∵PA是圆O的切线∴又是公共角∴∽………2分∴∴………4分（2）由切割线定理得：∴-22-\n又PB=5∴………6分又∵AD是的平分线∴∴∴………8分又由相交弦定理得：………10分23.解：（1）曲线C的直角坐标方程为即曲线C为圆心为(3,0)，半径为2的圆.直线l的方程为:………3分∵直线l与曲线C相切∴即………5分∵aÎ[0,π)∴a=………6分（2）设则=………9分∴的取值范围是.………10分24.解：（1）∵即∴………2分又当且仅当时取等号∴=2………5分（2）………9分∴满足条件的实数x不存在.………10分-22-