宜春市2022-2022学年第一学期期末统考高三年级数学(理科)试卷命题人:张美荣(奉新一中)李希亮审题人:李希亮吴连进(高安中学)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，集合，则=（）A．B．C．D．2、若是纯虚数（其中是虚数单位），且，则的值是（）Ａ．B．Ｃ．D．或3、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）Ａ．4B．11Ｃ．12D．14第1个第2个第3个……4、黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2022个图案中，白色地面砖的块数是（）A．8042B．8048C．8050D．8046否是开始输入开始=2022?输出结束5、在下图的程序框图中，已知，则输出的结果是（）A．B．C．D．6、已知双曲线的左、右焦点分别为、，以8\n为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7、是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值是（）A.B.C.D.8、昌铜高速于2022年10月28日全线通车，它缩短了南昌、奉新、靖安、宜丰和铜鼓之间的时空距离，极大的提高了宜春市公路网的等级结构．昌铜高速全长约180km，假设某汽车从铜鼓进入高速公路后,以不低于60km/小时且不高于120km/小时的速度匀速行驶到南昌，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度的平方成正比，当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元，若使汽车的全程运输成本最低，其速度为()km/小时A．80B．90C．100D．1109、将3个黑球和3个白球自左向右随机排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（）A．B．C．D．10、已知函数（为正整数），若存在正整数满足：，那么我们称为“好整数”．当时，则所有符合条件的“好整数”之和为．（）A．B．C．D．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、一个棱锥的三视图如图（长度单位为m），则该棱锥的表面积是____________m2．主视图左视图俯视图12、已知椭圆的离心率是方程的根，则=13、在三角形中，，为边的中点，则中线的长为14、的函数在定义域R内可导，若，当∈时，，设A＝，B＝，C＝，则A、B、C的大小关系为（用“”连结）15、设，对的任意非空子集，定义为8\n中的最小元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则：___________.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题12分）已知角为的三个内角，其对边分别为，若，，，且．（1）若的面积，求的值；（2）求的取值范围．17、（本小题12分）某地区试行高考考试改革，在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加剩余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（1）求该学生考上大学的概率；（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．ABCE1A1B1C18、（本小题12分）如图，在三棱柱中，已知，侧面（1）求直线与底面所成角的正弦值；（2）若为的中点，，求平面与平面的夹角的大小．19、（本小题12分）已知数列中，，，其前项和满足(，)（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．8\n20、（本小题13分）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．21、（本小题14分）设函数的图象在点处切线的斜率分别为．（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围；（3）若时（是与无关的常数），对任意的、恒成立，求的最小值．·宜春市2022-2022学年第一学期期末统考高三年级数学(理科)参考答案一、选择题（每题5分，满分50分）题号12345678910答案BABCACDCBA二、填空题（每题5分，满分25分）11．12．3或13．14．15．三、解答题（本题满分75分，要求写出必要的步骤和过程）16．（本小题满分12分）解：（1），，且.，即，又，……3分8\n又由，由余弦定理得：，故…………6分（2）由正弦定理得：，又，…………9分∵，则.则，即的取值范围是…………12分17．（本小题满分12分）解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则…………2分该生考上大学的概率为…………4分（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，…………5分…………9分故的分布列为：2345P…………12分8\n18．（本小题满分12分）解法一：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则，，……1分(1)直三棱柱中，平面的法向量，又，设，则………5分（2）∵，则，设平面的法向量，则，取，……9分∵，∴，又，∴平面的法向量，∴，∴二面角的大小为45°.…………12分解法二：（1）∵平面∴∵∴平面∴就是直线与平面所成角.…………3分在直角三角形中∴…………6分(2)连结得,又∵∴又∵∴求平面与平面的夹角就是异面直线与所成的角………9分∵‖∴在等腰直角三角形中∴平面与平面的夹角为…………12分19．（本小题满分12分）解：(1）由已知，（，），…………2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴……………4分（2）∵，∴，要使恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立．……………6分（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，8\n当且仅当时，有最小值为1，∴……………8分（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴…………10分即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．………12分20．（本小题满分13分）解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.，∴解得.所以椭圆的方程为：.………3分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，，由消去并整理得，∴.∵抛物线的方为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是，，即，，………6分解得两条切线、的交点的坐标为，即，∴.………8分（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，………9分设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得，，解得或，故不妨取，即直线过点.综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点.此时，两切线的方程分别为和.………11分抛物线与切线、所围成图形的面积为.………13分21．（本小题满分14分）8\n证明：（1）∵，由题意及导数的几何意义得，①②又a<b<c，可得4a<a+2b+c<4c，即4a<0<4c，故a<0，c>0.由①得c=-a-2b，代入a<b<c，再由a<0，得.③…………2分将c=-a-2b代入②得am2+2bm-2b=0即方程ax2+2bx-2b=0有实根.故判别式△＝4b2+8ab.得④由③、④得.…………4分（2）由知方程有两个不等实根，设为x1、x2.又由知为方程的一个实根，由根与系数的关系得时，的递增区间为[].由题设知[]＝[s，t]，因此由⑴知的取值范围为[2，4).…………9分（3）由.因.…………11分设，可以看做是关于的一次函数.由题意，.故，即，得，…………13分由题意故，因此k的最小值为.………………14分8
