清江中学2022—2022学年度第一学期期中考试高二数学试卷参考公式：若样本数据x1，x1，…，xn的平均数为,则它的方差它的标准差为一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分。请将正确答案填入答题纸相应的空格上）1．某班级共有学生52人，现将所有学生按01,02,03，…，52随机编号，若用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知04号，17号，43号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是▲．2.某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者的笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段［60,65）［65,70）［70,75）［75,80）［80,85）［85,90）［90,95）人数1366211由此可以估计200名应聘者中达到80分及以上的有人.3.交通管理部门为了了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员[Z-X-X-K]96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为16,21,24,39，则这四个社区驾驶员的总人数N为.4.已知椭圆上的一点到的距离为1，则点到的距离是.WhileEndWhilePrintn第6题图5.某中学高三（1）班中选出5名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，这5名学生成绩的众数是85，则这组数据的方差为_______．6.右面程序执行后输出的结果是▲．7.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程是________．8.已知，若随机选取，则直线恰好不经过第二象限的概率是________．11\n第10题图9.不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．10.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽_____米．11.已知命题“，使”为假命题，则的取值范围是▲.12.下面给出的四个命题中：①命题“，使得”的否定是“，都有”；“若则”的否命题是真命题.③方程＋＝1表示双曲线的充要条件是k∈(-1,5)．④命题“在中，若，则”的逆否命题是真命题；其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）13.设命题；命题：≤0．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 ．14.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是▲二、解答题（本大题共6小题，共90分，分值依次为14+14+15+15+16+16。请将答案写在答题纸相应的矩形区域内,要写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线中心在坐标原点,左顶点为A,右焦点坐标为,一条渐近线方程为，P为双曲线右支上一点，求的最小值16.（本小题满分14分）在四面体ABCD中，CB=CD，，ACBEFDE，F分别是AB，BD上的点，且.（1）求证：；（2）若E是AB的中点，求证：。17.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分11\n学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．图中从左到右各小长方形的高之比是，最后一组的频数3，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数落在的频率及抽取学生的总数；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．90100110120130140150分数频率/组距0.015第17题图18.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．（1）若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；（2）若抛掷两次，以第一次朝下面的数字为横坐标，第二次朝下面的数字为纵坐标，求点（）落在直线下方的概率．（3）若抛掷两次，记朝下面的点数分别为m,n，向量与向量的夹角记为，求的概率.19.已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题:集合，且.若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.11\n20.（本小题满分15分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点．证明：为定值；(3)在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．11\n江苏省清江中学2022－2022学年度第一学期期中试卷高二数学试卷答题纸一．填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；二．解答题15．（本小题满分14分）16．（本小题满分14分）ACBEFD17．（本小题满分15分）11\n18．（本小题满分15分）)19．（本小题满分16分）)11\n20．（本小题满分16分）)11\n参考答案与评分标准一．填空题1．30；2．40；3．600；4．3；5．36.4；6．6；7．；8．；9.；10．2；11．；12．①_③；13．；14.；二、解答题（本大题共6小题，共90分，分值依次为14+14+15+15+16+16.）15.（1）解析设椭圆的方程为，代入点，则椭圆方程是.………………5分（2）解析 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A(－1,0)，F(2,0)，则有＝x2－1，…9分y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小-2.……14分11\n16.解：(1)AD//面CEF，AD面ABD,面CEF面ABD=EF,......6分(2)......8分若E是中点，因为EF//AD,所以F为BD中点，又CB=CD,......9分,......14分17.解 (1)从左到右各小长方形的高之比是，第二组的小长方形的高为0.015，则第二组的频率为,所以第一组、第三组、第五组、第六组的频率分别为0.1、0.15、0.25、0.05，所以分数落在的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=0.3,最后一组的频率为0.05，抽取学生的总数为人.......4分(2)估计平均分为＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.......8分(3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．......10分∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)，(n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15种．.....12分则事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种．......14分∴P(A)＝＝.......15分18.解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则；......4分（2）记事件“抛掷后点（）在直线的下方”为C，要使点（）在直线`的下方，则须，当时，或4；当时，，11\n则所求的概率P（C）=．......9分（3）记事件“抛掷两次，”为B，时，，，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得的为（2，1），（3，2）（3，1），（4，3），（4，2），（4，1）共6种,则P（B）=．......15分19．解：对p：若命题p为真，则有即；.....................2分对q：∵且∴若命题q为真，则方程无解或只有非正根．∴或,∴......................8分∵p,q中有且只有一个为真命题∴(1)p真，q假：则有，即有；.............11分(2)p假，q真：则有，即有；.............14分∴或．....................16分20.解：（1）如图，由题意得，．，．·所求的椭圆方程为．………3分（2）由（Ⅰ）知，（，0），（2，0）．………………4分由题意可设：，（，）．，（2，）．……5分由整理得:．11\n，．……7分，．……9分．……10分即为定值．（3）设，则．若以为直径的圆恒过，的交点，则，……12分恒成立．由（Ⅱ）可知，．．……14分即恒成立．．……16分11
