江苏省扬州市2022届高三下学期5月考前适应性考试理科数学全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合，则▲．2．若复数是实数，则▲．3．已知某一组数据，若这组数据的平均数为10，则其方差为▲．4．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为▲．5．运行如图语句，则输出的结果T＝▲．6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则双曲线的离心率为▲．7．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为▲．8．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为▲．151．已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是▲．2．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列，则的通项公式是▲．3．若对任意，不等式恒成立，则实数的范围▲．4．函数的图象上关于原点对称的点有▲．对.5．在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的一个动点，点P在线段的延长线上，且，则点P横坐标的最大值为▲．6．从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和，两切线、分别与轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为，△OAC的面积为，则+的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值.16．（本小题满分14分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．15（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥的体积。1517．（本小题满分15分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少亿元，至多亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。（1）若，，请你分析能否采用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案；（2）若、取正整数，并用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案，请你求出、的取值．18．（本小题满分15分）椭圆的右焦点为，右准线为，离心率为，点在椭圆上，以为圆心，为半径的圆与的两个公共点是．（1）若是边长为的等边三角形，求圆的方程；（2）若三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程．1519．（本小题满分16分）已知函数，，（）．（1）求函数的极值；（2）已知，函数，，判断并证明的单调性；（3）设，试比较与，并加以证明．20．（本小题满分16分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②．（1）若等比数列为()阶“期待数列”，求公比；（2）若一个等差数列既是()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记阶“期待数列”的前项和为：（ⅰ）求证：；（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．21．B选修4-2：矩阵与变换（本题满分10分）15已知矩阵，向量．求向量，使得．21．C选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在直角坐标系内，直线的参数方程为为参数．以为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.判断直线和圆的位置关系.22．（本题满分10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成。（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．23．（本题满分10分）（1）设，试比较与的大小；（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。参考答案第一部分2022．051．2．3．24．5．6256．7．8．9．10．11．12．313．15提示：设，由，得，===，研究点P横坐标的最大值，仅考虑，（当且仅当时取“=”）．14．8提示：，设两切点分别为，，（，），：，即，令，得；令，得．：，即，令，得；令，得．依题意，，得，+===，=，可得当时，有最小值8．15．解：（1）4分6分（2）由，，又的内角，，，8分15，，，11分，14分16．证：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，∴AD⊥BC，∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ABB1A1，又∵平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABB1A17分(2)由等积变换得，在直角三角形中，由射影定理()知，∵，∴三棱锥的高为10分又∵底面积12分∴=14分法二：连接，取中点，连接，∵P为AC中点，,, 9分由（1）AD⊥平面A1BC，∴⊥平面A1BC，∴为三棱锥P-A1BC的高，11分由（1）BC⊥平面ABB1A1 ，12分，14分17．解：（1）∵，∴函数y＝是增函数，满足条件①。3分15设，则，令，得。当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数，又，，即，在上是增函数，∴当时，有最小值0.16=16%>15%，当时，有最大值0.1665=16.65%<22%,∴能采用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案。9分（2）由(1)知，依题意，当，、时，恒成立；下面求的正整数解。令，12分由(1)知，在上是减函数，在上是增函数，又由（1）知，在时，，且=16%∈[15%，22%]，合条件，经枚举，∈[15%，22%]，而[15%，22%]，可得或或，由单调性知或或均合题意。15分18．解：设椭圆的半长轴是，半短轴是，半焦距离是，由椭圆的离心率为，可得椭圆方程是，2分（只要是一个字母，其它形式同样得分，）15焦点，准线，设点，（1）是边长为的等边三角形，则圆半径为，且到直线的距离是，又到直线的距离是，所以，，，所以所以，圆的方程是。6分（2）因为三点共线，且是圆心，所以是线段中点，由点横坐标是得，，8分再由得：，，所以直线斜率10分直线：，12分原点到直线的距离，依题意，，所以，所以椭圆的方程是．15分19．解：（1），令，得．当时，，是减函数；15当时，，是增函数．∴当时，有极小值，无极大值．4分（2）==，由（1）知在上是增函数，当时，，即，∴，即在上是增函数．10分（3），由（2）知，在上是增函数，则，令得，．16分20．解：（1）若，则由①=0，得，由②得或．若，由①得，，得，不可能．综上所述，．（2）设等差数列的公差为，>0．∵，∴，∴，15∵>0，由得，，由题中的①、②得，，两式相减得，，∴，又，得，∴．（3）记，，…，中非负项和为，负项和为，则，，得，，（ⅰ），即．（ⅱ）若存在使，由前面的证明过程知：，，…，，，，…，，且…．记数列的前项和为，则由（ⅰ）知，，∴=，而，∴，从而，，又…，则，∴，与不能同时成立，所以，对于有穷数列，若存在使，则数列和数列不能为阶“期待数列”．15第二部分（加试部分）21．B解：，4分设，由得，即，8分解得，所以10分21．C解:将消去参数，得直线的直角坐标方程为；3分由,即，两边同乘以得，所以⊙的直角坐标方程为：7分又圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．10分22．解：（Ⅰ）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为，则，所以，2分所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：123；4分（Ⅱ）设考生乙正确完成实验操作的题数为，则，所以，6分15又且，8分从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。10分23．解：（Ⅰ）设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故函数有最小值，则恒成立4分（Ⅱ）取进行验算：猜测：①，②存在，使得恒成立。6分证明一：对，且，有15又因，故8分从而有成立，即所以存在，使得恒成立10分证明二：由（1）知：当时，，设，，则，所以，，，当时，再由二项式定理得：即对任意大于的自然数恒成立，8分从而有成立，即所以存在，使得恒成立10分15
