射阳县第二中学2022年秋学期第二次学情调研高二数学试卷时间：120分钟分值：160分工一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上)1．过点(2，－2)，(－2，6)的直线方程是．2．命题“x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0”的否定是．3．椭圆的准线方程为．4.某人5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为_______．5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是．6．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|－a2＋a+2＞0}的概率为________．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．8．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积是．9.定义某种新运算：的运算原理如右边流程图所示，则54－34＝．10．已知变量x、y满足，则的最大值___________．11．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y＝－1，则其渐近线方程为．12．过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于．13．若“(x－a)(x－a－1)＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．914．已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则.二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题14分）.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，试求实数a的取值范围．16.（本小题满分14分）已知且.设命题函数是定义在R上的增函数；命题关于的方程有两个不等的负实根.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.17．（本小题15分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：9(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50,60)的概率．18．（本题满分15分）(文科做)已知椭圆：（）的焦距为，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）设、为椭圆上关于轴对称的两个不同的动点，求的取值范围．（理科做）已知圆M:直线，动圆P与圆M相外切，且与直线相切.设动圆圆心P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且，求证：直线AB恒过定点.19．（本小题16分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元.现设一次载客的路程为xkm.(1)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；(2)若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y取得最大值？920．（本小题16分）设A1、A2与B分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切．(1)求证：＋=1；(2)P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为－，求椭圆E的方程；(3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．9高二数学期中试题数学参考答案一、填空题1．2x＋y－2＝02．x∈[－1，1]，x2－3x＋1≥03．4．25．y2＝2x或x2＝－2y6．0.37．充分不必要8．249.910.1211．y＝±x12．13．14．二、解答题15．(本小题14分)解：(1)由a＝4，∴f(x)＝＝x＋＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6.……………………………………………………6分(没有写等号成立的条件扣2分，如用函数单调性需要证明）(2)x∈[1，4]，>6恒成立，即x∈[1，4]，x2＋2x＋a>6x恒成立．等价于a>－x2+4x，当x∈[1，4]时恒成立，令g(x)＝－x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………10分∴a>g(x)max＝g(2)=4，即.∴a的取值范围是a>4………………………………………………………………14分16.解：真：依题意，…………………4分真：（法二：）用韦达也可以…………………6分9或为真，且为假一真一假…………………7分…………………11分…………………14分17.（本小题15分）解：(1)分数在[70,80)内的频率为1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3.又＝0.03，补出的图形如下图所示．……………………………………………………………4分平均分为：＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答：估计这次考试的平均分是71分．………………………………………………………………………………………8分由题意，[40,50)分数段的人数为0.10×60＝6人；[50,60)分数段的人数为0.15×60＝9人；在[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40,50)分数段抽取2人，分别记为m，n；[50,60)分数段抽取3人，分别记为a，b，c，设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,60)为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10种，则事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9种，所以P(A)＝=0.9.…………………………………………………………………15分18．（本题满分15分）(文)（1）解法一：由已知得，………………………（1分）9因为椭圆过点，所以………………………………（3分）解得………………………………………………………………………（5分）所以，椭圆的方程为．……………………………………………（7分）解法二：由已知得，所以椭圆的两个焦点是，，……（1分）所以，故，……………………（5分）所以．……………………………………………………（6分）所以，椭圆的方程为．………………………………………………（7分）（2）设，则（），，，………………………………（8分）由，得，所以，………………………………………………………………（12分）由题意，，所以．……………（14分）所以，的取值范围是．………………………………（15分）(理)解：（1）设P(x,y)，则…………………………（3）所以即为E的方程……………………………………………………………（6）（2）设直线AB：讲直线AB的方程带入中得，9所以…………………………………………………………（10），所以……………（13）AB方程为：所以直线恒过点（0,4）……………………………………………………………（15）19.解：(1)F(x)＝，即F(x)＝.………………………………………………2分设折旧费z＝kx2，将(100,0.1)代入，得0.1＝1002k解得k＝………………………………………………4分，所以C(x)＝2.3＋1.6x＋x2.…………………………………………………………6分(2)由题意得y＝，…………………………9分①当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8－2＝0.79(当且仅当x＝500时取等号)；…12分②当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减，得ymax＝－－1.6＝0.75－<0.79.……………………………………………15分答：该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值．………………16分20．（本小题16分）(1)证明：已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是＋＝1.因为A2B与圆C：x2＋y2＝1相切，所以＝1，即＋＝1.……………………………………………………………………………4分(2)解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为9kPA1·kPA2＝·＝＝－＋＝1，而＋＝1，所以b2＝a2.…………………………………………………………………8分结合＋＝1，得a2＝4，b2＝.所以，椭圆E的方程为＋＝1.………………………………………………10分(3)解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．①若直线l的斜率存在，设直线l为y＝kx＋m，由y＝kx＋m代入＋＝1，得＋＝1.化简，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ＞0)．∴x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋km＋m2＝.因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.代入，得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0.结合(1)的＋＝1，得m2＝1＋k2.圆心到直线l的距离为d＝＝1，所以直线l与圆C相切．……………………………14分②若直线l的斜率不存在，设直线l：x＝n.代入＋＝1，得y＝±b.∴|n|＝b，∴a2n2＝b2(a2－n2)．………………………………………16分9
