江苏省响水中学2022年秋学期高二年级期中考试数学试题(理科)考生注意：1.本试卷满分160分，考试时间120分钟；2.试题的答案一律写在答题纸上.一、填空题(每题5分，计70分)ReadIfThenElseEndIfPrintEnd第4题图1.若x>0,y>0,x+y=2,则xy的最大值为▲；2.椭圆的离心率为▲；3.若，则的概率为▲；4.若执行右图伪代码时没有执行y←x2＋1，则输入的x的取值范围是_____▲___；5.某城市大学20所，中学200所，小学480所．现从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为▲；6.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为▲；7.已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则a的范围是▲；8.已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为▲；9.从1,2,3,…,9中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和是偶数的概率是▲；10.执行右面的流程图，若p＝4，则输出的S等于▲；11.如果关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(),那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果关于x的两个不等式与为“对偶不等式”，则实数m=▲；12.已知点P是椭圆6\n上任一点，且点P在第一象限内，若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为▲；13已知椭圆的左右焦点分别为.若椭圆上存在点P，使；则该椭圆离心率的范围是▲；14．设正实数x,y,z满足x+3y+z=1,则的最小值为▲.二、解答题(15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分)15.（本题满分14分）已知不等式；（1）若该不等式的解集为（1,2），求的值；（2）若，解该不等式.Oyx16.（本题满分14分）设实数x,y满足（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）.（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域；（2）求x+3y的最大值；（3）求的范围.17．（本题满分14分）为了让学生了解2022年“北京-张家口”冬季奥运会知识，某中学举行了一次冬季奥运知识竞赛，共有800名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部缺损的频率分布表及局部缺损的频率分布直方图，解答下列问题：6\n（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；（2）依据题意求出频率分布表中的D值及频率分布直方图中的F值；频率组距（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？分组频数频率60.5~70.5A0.1670.5~80.510B80.5~90.5180.3690.5~100.5CD合计50EF组距18.（本题满分16分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。(1)设BC的长度为x,矩形ABCD的面积为y,试写出y关于x的函数关系式；(2)求当BC多少时,矩形ABCD的面积最大，并求出该最大值。19．（本题满分16分）已知椭圆C:(的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若“椭圆的长半轴长为，短半轴长为时，则椭圆的面积是.”请针对(1)中求得的椭圆，求解下列问题：①若,且，求点落在椭圆内的概率；②若,且，求点落在椭圆内的概率.6\n20.（本题满分16分）如图,是长轴长为6，焦距为2的椭圆的左、右顶点,直线l的方程为x=9,是椭圆上异于的一点,直线交于点.(1)求椭圆方程；(2)以为直径的圆与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点坐标.6\n高二期中考试数学试题参考答案一、填空题1.12.3.4.x>2.55.206.327.-8<a<18.35.29.10.11.-1012.13.14.二、解答题15.（1）因为不等式可话为(x-1)(x-2)<0,所以a=2……………………7分(2)a<1,解集为（a,1）a=1，解集为,a>1,解集为（1,a）。…………..14分16.（1）画出如图所示的平面区域：……………4分（2）设x+3y=P，平移直线y=过点（）得P的最大值为8，所以x+3y的最大值为8…9分（3）依据平面区域得所以的范围是[]………………..14分17.（1）编号为016；--------------------------4分（2）D=0.28，F=0.028.........................................9分（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是，即获二等奖概率约32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人.....14分18.(1)连结ＯＣ得，所以AB=，所以y=……………….8分(2)因为.即即x=时取等号，此时………………………………15分答：时，矩形ABCD的面积最大，最大为900….16分19.解：（1）由题,∴椭圆的标准方程是.…………………..4分；（2）①当是实数,且时,所有形如的点覆盖的图形面积是48,椭圆围成的区域在其内部,且面积为12,故点P落在椭圆内的概率是…………………..8分；②当是整数,且时,点P共有9×7=63个.………..10分；其中当时，点(4,1),(4,2),(4,3),(3,2),(3,3),(2,3),(1,3)共76\n点落在椭圆外,由对称性知,当是整数,且时,共有4×7=28个点落在椭圆外,又因为在椭圆上的整点有四个，故点P落在椭圆内的概率是…………………..16分.20.答：（1）解：由题意：a=3,c=1,b=．∴椭圆C的方程为． ……………6分（2）证明：由（1）知，A（-3，0），B（3，0），设M（），R（t，0），则直线AM的方程为，所以点P的坐标为，……………………….9分由题意，MQ⊥PQ，∴kMQkPQ=-1，∴直线PQ的方程为令y=0结合，得x=，所以直线PQ与x轴的交点R为定点（-，0）………………………………..….16分6
