广西陆川县2022届高三数学上学期期中试题理第I卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的值是（）．．．．2.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、已知向量，，则＝（）A、B、C、D、4、已知命题；命题；则下列命题为真命题的是（）A、B、C、D、5、已知，且为第二象限角，则＝（）A、B、C、D、6、已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（）A、B、C、D、7、若，，则（）A、B、C、D、8、《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）-9-\nA、B、C、D、9、已知的三个内角、、所对的边长分别是、、，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（）A、B、C、D、10、已知函数在处有极值，则＝（）A、B、C、D、11、一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A、B、C、D、12、设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．已知，若在上投影为，则14．函数为奇函数，则15．已知，则16．已知为常数，对任意,均有恒成立.下列说法：-9-\n①的周期为6；②若为常数）的图像关于直线对称，则；③若且，则必有④已知定义在上的函数对任意均有成立，且当时，又函数为常数），若存在,使得成立，则的取值范围是其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an.(1)若是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；(2)若是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.18．(本小题满分12分)某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；(2)若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．理财金额1万元2万元3万元乙理财相应金额的概率丙理财相应金额的概率-9-\n19．(本小题满分12分)如图15所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA＝BC＝CD＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若PA＝，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sinθ.20．(本小题满分12)已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为求直线AB的方程。21．(本小题满分12)已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴．（1）求函数的极小值；（2）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（）证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；-9-\n(2)设直线与曲线交于两点，证明:．23．[选修4—5：不等式选讲]设，，均为正数，且，证明：(1)≤；(2)-9-\n理科数学试题参考答案及评分标准1.A2.D3、4、5、6、7、8、D9、10、11、12、B13、14、15、216、②③④17、（1）；（2）18、解：(1)设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P(ξ＋η≥5)＝PP＋PP＋PP＝×＋×＋×＝.4分(2)X的所有可能的取值为300，400，500，600，700.P＝PP＝×＝，P＝PP＋P(ξ＝2)P(η＝1)＝×＋×＝，P＝PP＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＋PP＝×＋×＋×＝，P＝PP＋P(ξ＝3)P(η＝2)＝×＋×＝，P＝P(ξ＝3)P(η＝3)＝×＝，所以X的分布列为X300400500600700P10分E(X)＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝.12分19．解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，又BC＝CD，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC.-9-\n因为PD⊥DC，所以PB⊥BC.3分因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.5分(2)由BD＝BC＝CD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，又已知AB＝AD，BD＝PA＝，所以AB＝1.如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，P(0，1，)，C(，0，0)，E（，，），D（，，0），所以＝（，，－)，＝(，，)，＝(，，0).设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，8分则即取z＝－2，得n＝(3，－，－2)，10分所以sinθ＝＝＝.12分20、（1）；（2）或-9-\n21、（1）依题意得，则，（2）由（1）得∵函数的定义域为，令得或函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为（3）依题意得， 令则由得，当时，，当时，，在单调递增，在单调递减，又即 22．（1）；（2）试题解析：（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.（2）设直线与曲线交于两点所对应的参数为，则，即，而-9-\n23．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.-9-
