桂林市第十八中学13级高三第三次月考理科数学考试时间2022年11月07日15:00——17:00第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知全集,集合,,则集合可以表示为（）A．B．C．D．2.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.B.C.D.3．已知等差数列的首项，且是与的等比中项，则（）A．1B．2C．3D．44.已知，且，则A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6.有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有A．26种B．32种C．36种D．56种7.已知不等式组构成平面区域(其中,是变量)，则目标函数的最小值为（）A．-3B．3C．-6D．68.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.14 B.15C.16D.17则的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]10.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移（＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为，则的值不可能为（）-11-\nA．B．C．D．11.如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（）A．BC．D．]12.已知，函数.记为的从小到大的第个极值点，则数列是（）A．等差数列，公差为B．等差数列，公差为C．等比数列，公比为D．等比数列，公比为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.二项式的展开式中的常数项是________.14.如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域.在内随机取一点，则该点落在中的概率为.15.是同一球面上的四个点,其中是正三角形,⊥平面，,则该球的表面积为_________.16.已知数列的前n项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为_________.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）如图，在海岛上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远？18.（本小题满分12分）某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业8040120小型企业240200440-11-\n合计320240560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。记表示所发奖励的钱数，求的分布列和数学期望：附：0.0500.0250.0103.8415.0246.63519.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.20.（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如图所示，直线与抛物线相交于,两点，为抛物线上异于,的一点，且轴，过作的垂线，垂足为,过作直线交直线BM于点,设的斜率分别为，且。①线段的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;②求证:四点共圆.21．（本小题满分12分）-11-\n请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）22.选修4－1：几何证明选讲 如图所示，为圆的直径，为圆的切线，为切点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.23.选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.24.选修4-5：不等式选讲已知函数的解集为（Ⅰ）求k的值；桂林市第十八中学13级高三第三次月考理科数学答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分1.答案：B解析：有元素1，2的是，分析选项则只有B符合。2.答案：A解析：，所以。3.答案：A-11-\n4.答案：A5.答案：A解析：该几何体是下面是一个三棱柱，上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。其体积为。6.答案：36解析：先从4名优秀学生，，，中选出2名保送到甲，乙，丙3所学校中的某一所，有种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有种方案；故不同的保送方案共有种。7.答案：C解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由限性规划知识可求答案。8.答案：C 解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出.故选C。9.答案：D解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设,,,的取值范围是。10.答案：B解析：，故，所以，即。将函数的图片向左平移（＞0）个单位后得到，因为函数的一条对称轴为。故，解得，观察可知，选B。11.答案：D-11-\n解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此抛物线方程为y2=3x。12.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.答案：45解析：，则，故常数项为。14.答案：解析：由几何概型得，该点落在中的概率为15.答案：32解析：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2。所求球的表面积为：4（2）2=32。16.答案：4解析：当时，得，；当时，，两式相减得，得，所以。又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即。因为，所以不等式，等价于。-11-\n记，时，。所以时，。所以，所以整数的最大值为4。17.解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°,PA=1，∴AB=(千米)在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)…………3分在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90° …….6分(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°.……….9分在△ACD中，据正弦定理得， ∴答：此时船距岛A为千米…………12分.18.解：（Ⅰ）K2＝≈5.657，…………4分因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…………7分P(X＝90)＝＝，P(X＝130)＝＝，P(X＝170)＝＝，P(X＝210)＝＝，…………9分(每两个1分)分布列如下：-11-\nX90130170210P…………10分期望E（X）＝90×＋130×＋170×＋210×＝180…………12分19.解：(Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,PABCDMOxyz所以,,又,,平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以。…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.…………6分以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,…………7分则,,,,由可得点的坐标为,所以,,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,…………8分显然平面的一个法向量为,…………9分依题意,…………10分解得或(舍去),…………11分所以,当时,二面角的余弦值为.…………12分20.解:（Ⅰ）…………3分（Ⅱ）①设,则,直线的方程为：…………4分由消元整理可得：-11-\n所以…………5分可求得：直线的方程为：所以可求得…………6分所以===4…………7分②的中点…………8分则的中垂线方程为：与BC的中垂线轴交点为：…………9分所以的外接圆的方程为：…………10分由上可知…………11分所以四点共圆.…………12分-11-\n22.解：(I)连接是圆的两条切线，，,又为圆的直径，，,,即得证，…………5分(II),,△∽△，。…………10分23.解：（I）圆的参数方程为（为参数）-11-\n所以普通方程为圆的极坐标方程：…………5分（II）点到直线：的距离为△的面积所以△面积的最大值为…………10分24.解：（Ⅰ）因为，所以等价于由有解，得，且其解集为又的解集为，故…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知又是正实数，由均值不等式得当且仅当时取等号。也即…………10分-11-
