2022届高三级第一学期第二次月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合A．B．C．D．2、已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、数列满足,,且前项之和等于,则该数列的通项公式（）A．B．C．D．4、已知实数成等差数列，且曲线的极大值点坐标为，则等于（）A.B．C．D．5.命题：“若，满足约束条件，则的最大值是5”，命题：“”，则下列命题为真的是（）A.B．C．D．6、“双曲线的渐近线为”是“椭圆的离心率为”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7、已知，若，则的值是()A．B．C．D．或10-12-\n8、定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有.则下列结论正确的是()A．B．C．D．9、当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是()A．B．C．D．10、已知定义在的奇函数满足，且当时，，则（）A．B．C．D． 11．某几何体的三视图如图，其顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A．B．C．D．12、已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在点P，使，则该双曲线离心率的取值范围为()A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若函数的定义域为．14、若幂函数是上的奇函数，则的值域为.15、已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线-12-\n与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6,则圆C的方程为.16．已知（为常数），若对任意都有，则方程=0在区间内的解为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本题满分１２分)已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）设的三内角分别是A、B、C.若，且,求边和的值.18、（本小题满分12分）2022年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.19．（12分）如图1，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）求四面体的体积；（2）证明：∥平面；（3）证明：平面平面．-12-\n20、（本小题满分12分）已知函数，.（I）若函数在定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（II）证明：若，则对于任意有.21、（本小题满分12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22、（本小题满分10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线垂直的直径，P是⊙O与的公共点，AC⊥，BD⊥，垂足分别为C，D，且PC=PD．（Ⅰ）求证：是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．23．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点P（，1），直线l的-12-\n参数方程为（t为参数），若以O为极点，以Ox为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．24、（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．-12-\n2022届高三级第一学期第二次月考文科数学参考答案一、选择题：CABBCADACDCD二、填空题：13.14.15.或三、解答题：17．(本题满分１２分)解：（1）……………………3分所以，的最小正周期…………………………………………………………4分当时，即，,最大值是.………………………6分（2）得，C是三角形内角，…………………………8分由余弦定理：＝……………………………………………………………………10分由正弦定理：＝,得…………12分（18）（本小题满分12分）（I）由图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a=0.06，该抽样方法是系统抽样；……4分（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；-12-\n∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9，∴数据的中位数为77.9………………………………………………8分（III）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），∴估计该路段车辆超速的概率P=．……………………………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：（Ⅰ）解：由左视图可得为的中点，所以△的面积为．………………1分因为平面，………………2分所以四面体的体积为………………3分．………………4分（2）证明：取中点，连结，．………………5分由正（主）视图可得为的中点，所以∥，．………6分又因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形，所以∥．………………7分因为平面，平面，所以直线∥平面．……………………………8分（3）证明：因为平面，所以．因为面为正方形，所以．所以平面．……………………………9分因为平面，所以．因为，为中点，所以．-12-\n所以平面．……………………………10分因为∥，所以平面．………………11分因为平面，所以平面平面.………………12分（20）（本小题满分12分）（I）解析：函数的定义域为令，因为函数在定义域内为单调函数，说明或恒成立，……………2分即的符号大于等于零或小于等于零恒成立，当时，，，在定义域内为单调增函数；当时，为减函数，只需，即，不符合要求；当时，为增函数，只需即可，即，解得，此时在定义域内为单调增函数；……………4分综上所述………………5分（II）在区间单调递增，不妨设，则，则等价于等价于………………7分-12-\n设，解法一：则，由于，故，即在上单调增加，……………10分从而当时，有成立，命题得证！………………12分解法二：则令即在恒成立说明，即在上单调增加，………………10分从而当时，有成立，命题得证！………………12分（21）（本小题满分12分）（I）由题意得，∴，∴………………….1分由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，∴……………………3分∴，∴椭圆C的方程为…………………………….4分（II）(i)当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为，此时原点与直线AB的距离……………………………………………5分-12-\n(ii)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得，消去得，，……………..….…..….6分，由，，∴整理得，∴，故O到直线AB的距离综上：O到直线AB的距离定值………………………………………………9分,，当且仅当时取“=”号.∴，又由等面积法知，∴,有即弦AB的长度的最小值是 ………………..12分（22）（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，-12-\n所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．………..….………..…………..…..…………..5分（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OP﹣AC=6，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD﹣AC=6﹣4=2，在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．………………………………………….10分（23）（本小题满分10分）解：（I）由直线l的参数方程，消去参数t，可得=0；由曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ﹣）展开为，化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=x+y，即=．…………5分（II）把直线l的参数方程代入圆的方程可得=0，∵点P（，1）在直线l上，∴|PA||PB|=|t1t2|=．…………10分（24）（本小题满分10分）（Ⅰ）由得解得∴不等式的解集为．………………………………….4分（Ⅱ）∵即的最小值等于4，….6分-12-\n由题可知|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…………………………………10分-12-
