2022届高三级第一学期第二次月考理科数学试卷考试时间：120分钟；命题人：高三理数教研组第I卷（共60分）一、选择题1．如果，那么（ ）A．－2B．2C．－D．2．设数列是以3为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）A．1033B．1057C．1043D．10583．将函数的图象向左平移2个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）A．B．C．D．4．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力3568由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（ ）A、10.3B、11.5C、9.5D、7.15．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、-10-\n6．已知函数的部分图像如图所示.则函数的解析式为（ ）A、B、C、 D、7．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中第4项的系数是（ ）A、954 B、－954 C、2835 D、－28358．任意确定四个日期，其中有一个是星期天的概率为（ ）A、 B、 C、 D、9．在圆内，过点P（1,1）的最长的弦为，最短的弦为，则四边形的面积为．（ ）A、B、 C、 D、10．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．11．设抛物线的焦点为,准线为，为抛物线上一点，且为垂足，如果直线的斜率为，则｜PF｜＋｜OF｜等于（ ）A．B．C．D．1012．若数列的通项公式，记，则f(n)=-10-\nA、 B、 C、 D、第II卷（非选择题90分）二、填空题13、已知,是虚数单位,则____14．曲线在点处的切线方程是15．已知数列满足，若，则 16．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆有公共点A（1,2），且圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为 三、解答题17.已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18，且（n≥2）.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若，求数列{cn}的前n项和Tn.18．（12分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。-10-\n（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望。19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，,点是的中点，，且交于点．（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．20．(12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(1,1)，离心率e＝，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l是圆O：x2＋y2＝1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：·为定值．-10-\n21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=x2e-2ax（a＞0），（1）已知函数f（x）的曲线在x＝1处的切线方程为，求实数的值；（2）求函数在［1，2］上的最大值．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），过点且斜率为的直线与曲线相交于不同的两点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．-10-\n2022届高三级第一学期第二次月考理科数学答案和评分标准一、CCACC BDCCB DC ；二、13、1＋i 14、 15、-1 16、三、解答题17．解析：（1）由题意知①，当n≥2时，②，①-②得，即，又，∴，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，由（n≥2）知，数列{bn}是等差数列，设其公差为d，则，故，综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为.（2）∵，∴③④③-④得，即，∴18、（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球,摸出的球均为白球的概率是4分（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率．8分随机变量服从二项分布,分布列如下0123-10-\n．12分．19．方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．是正方形，∴是的中点．是的中点，∴是△的中位线．∴．2分又平面，平面，∴平面．4分（Ⅱ）证明：由条件有∴平面，且平面∴又∵是的中点，∴∴平面平面∴6分由已知∴平面又平面∴平面平面8分（Ⅲ）取中点，则．作于，连结．∵底面，∴底面．∴为在平面内的射影．∵,∴．∴为二面角的平面角．10分设，在中，，∴．∴二面角的余弦的大小为．12分方法二：（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则．，，-10-\n,即有6分又且．平面．又平面∴平面⊥平面．8分（Ⅲ）底面，∴是平面的一个法向量，．设平面的法向量为,,则即,∴令,则．10分,由作图可知二面角为锐二面角∴二面角的余弦值为．12分20、【解】 (1)因为e＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆C的方程为＋＝1.又∵椭圆C过点M(1,1)，代入方程解得a2＝4，b2＝，∴椭圆C的方程为＋＝1 4分(2)①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，则圆心O到直线l的距离d＝＝1，∴1＋k2＝m2将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到关于x的方程为(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－4＝0 6分设直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则7分 ∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 9分＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝＝0，②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得·＝0.综合上述可得，·为定值0. 12分21、解：（1）f（x）=x2e-2ax（a＞0），∴=2xe-2ax+x2·（-2a）e-ax=2e-ax（-ax2+x）．1∴=解得：a=22分又由点在切线上解得：4分-10-\n（2）令>0，即2e-2ax（-ax2+x）>0，得0<x<，（a＞0）∴f（x）在（-∞，0），上是减函数，在上是增函数．6分①0<<1，即a>1时，f（x）在（1，2）上是减函数，∴f（x）max=f（1）=8分②当1≤≤2，即0．5≤a≤1时f（x）在上是增函数，在上是减函数，∴f（x）max=f=a-2e-210分③当>2时，即0<a<0．5时，f（x）在（1，2）上是增函数，∴f（x）max=f（2）=4综上所述，当0<a<0．5时，f（x）的最大值为4当0．5≤a≤时，f（x）的最大值为a-2e-2，当a>时，f（x）的最大值为12分22．解：（Ⅰ）曲线的方程可写成过且斜率为的直线方程为 1分代入曲线的方程得整理得①3分直线与圆交于两个不同的点等价于 4分解得，即的取值范围为 5分 （Ⅱ）设，则由方程①，② 7分又③而所以与共线等价于 8分-10-\n将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数 10分-10-
