金山中学2022-2022年度第二学期期末考试高二理科数学试题卷一.选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.复数(为虚数单位)的虚部等于（）A.B.C.D.22.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（）A..B..C.D.3.已知中，，那么角等于（）A.B.C.D.4.将甲、乙、丙三名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.B.C.D.35.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率为().A.B.5C.D.6.已知平面平面,点直线∥,直线,直线∥,m∥,则下列关系中不一定成立的是（）A.∥B.C.∥D.7.已知向量和它们的夹角,定义※,若,则※A.B.C.D.8.已知函数为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且自然对数的底数,则（）A.>、<B.<、>C.>、>D.<、<二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答案卡中横线上.)9.已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是.10.设若，则．9\n11.若集合,则集合中的元素的个数为.12.某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积的大小是.13.已知则.14.若是等差数列，是互不相等的正整数，则有:，类比上述性质，相应地，对等比数列，有.三.解答题(本题共6小题,共80分.第15,16题每题各12分，17~20题每题各14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).15．函数的部分图象如图所示.1)求函数的解析式;2)当时,求的取值范围.16．学校为3名学生提供甲、乙、丙、丁4个不同兴趣小组，每个同学任选其中一个。1）求3个同学选择3个不同兴趣小组的概率；2）求选择甲兴趣小组的人数的数学期望。17．如图所示，在三棱锥中，，平面平面，于点，点O为AC的中点，，，．1)求证:平面2)证明:△为直角三角形；3)求直线与平面所成角的余弦值.18.已知等差数列的公差为，它的前项和为，若，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证:.19．已知点，动点M，N满足,其中是坐标原点 ,若1)求点M的轨迹E的方程;9\n2)若过点的两条直线和与轨迹E都只有一个共公点,且，求的值.20.已知函数，其中为不大于零的常数.(1)讨论的单调性；(2)证明：(,为自然对数的底数).2022-2022学年度汕头金山中学第二学期高二(期末)考试答案理数BABCDDAC,1,3,,,,15．函数的部分图象如图所示.1)求函数的解析式;2)当时,求的取值范围.解:1)由图知,（1分）（2分）（3分）又过点（4分）（7分）函数的解析式为；（8分）2）（10分）（11分）∴求的取值范围是.（12分）16．学校为3名学生提供甲、乙、丙、丁4个不同兴趣小组，每个同学任选其中一个。1）求3个同学选择3个不同兴趣小组的概率；2）求选择甲兴趣小组的人数的数学期望。解：1）；………5分9\n2）设选择甲兴趣小组的人数为，则……………………8分∴……………………11分答：…12分17．如图所示，在三棱锥中，，平面平面，于点，点O为AC的中点，，，．1)求证:平面2)证明:△为直角三角形；3)求直线与平面所成角的余弦值.解:1)证明:点O为AC的中点平面平面，平面平面=AC…2分平面ABC平面…4分2)证明:在中,同理,于点,同1)的证明可证平面ABC平面ABC在中,,…6分△为直角三角形；……….7分3)以点O为坐标原点，以OB，OC所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，………………………8分则，，，．于是，，．设平面的一个法向量为，9\n则即取，则，．所以平面的一个法向量为．………………………………………12分设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，…………………………………………………………………………………………………1分则，，．于是，．因为，所以．所以．所以为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，．于是，，．设平面的法向量为，9\n则即取，则，．所以平面的一个法向量为．……………………………………………………12分设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分18.已知等差数列的公差为，它的前项和为，若，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证:.(1)解：因为{an}是等差数列，所以an=a1+(n－1)d，，……1分依题意，有，即，……3分解得a1=6，d=4.……4分所以数列{an}的通项公式为an=4n+2(n∈N*).……6分(2)证明：由(1)可得Sn=2n2+4n(n∈N*).……7分所以，……8分所以.……10分9\n因为，所以.……11分因为，所以数列{Tn}是递增数列，……13分所以，所以.……14分19．已知点，动点M，N满足,其中是坐标原点 ,若1)求点M的轨迹E的方程;2)若过点的两条直线和与轨迹E都只有一个共公点,且，求的值.解：1）设点(1分)，(3分)(4分)代入化简得:(6分)2）依题意直线的斜率存在设，则由错误！不能通过编辑域代码创建对象。知，。(7分)将代入得，即，由与E只有一个交点知，，即。(9分)同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即9\n，从而，∴。(11分)由对称性直线分别过点得也满足要求。(13分)所求的值为或.(14分)20.已知函数，其中为不大于零的常数.(1)讨论的单调性；(2)证明：(,为自然对数的底数).9\n（2）由（1）知，当在上单调递减，当时，由得……………………10分………………14分9
