金山中学2022-2022年度第二学期期末考试高二文科数学试题卷一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）1、集合（其中为虚数单位）中元素的个数是（）A．B．C．D．无穷多个4444正视图侧视图俯视图2、在正项等比数列中，，则的值为(）A．B．C．D．3、直线与圆的位置关系是(）A．相离B．相切第4题图C．直线与圆相交且过圆心D．直线与圆相交但不过圆心4、已知某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图是等腰梯形（较短的底长为），则该几何体的体积为（）开始输入x输出结束否A．B．C．D．5、已知平面向量，，且，则实数的值为（）是A．B．C．D．6、如右图的算法流程图,若,则的值为（）A．9B．8C．6D．47、以下结论正确的是（）第6题图A．“”是“”的充分而不必要条件；B．函数的零点在区间内；C．函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象；D．对于直线和平面，若，则.8、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）8\n9、已知函数：，其中，记函数满足条件：为事件为，则事件发生的概率为（）A． B． C． D．10、设函数的定义域为，若对，使得（其中为常数）成立，则称函数在上的均值为.给出下列四个函数：①；②；③；④,则满足在其定义域上均值为的函数的个数是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11、．函数在处的切线方程为．12、观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝．13、设二次函数的值域为，则的最小值为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14、（几何证明选讲）如图所示，是半径等于3的圆的直径，点在的延长线上,割线交圆于，若,则．第14题图15、（坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是__．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主学习的时间全部在分钟到8\n分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计得到如下频率分布表：分组频数频率[180,210）[210,240）[240,270）[270,300）[300,330）（1）求分布表中，的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这名学生中按时间用分层抽样的方法抽取名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．17.（本小题满分12分）在△中，内角所对的边分别为，已知.(1)求证：成等比数列；(2)若，求△的面积S．CBADC1A118.(本小题满分14分)如图，三棱柱中，侧棱垂直底面,，，是棱的中点．(1)证明：平面⊥平面；(2)平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．19.(本小题满分14分)如图直角梯形中，,,是边的四等分点，为在梯形区域内一动点，满足，记动点的轨迹为.(1)建立适当的平面直角坐标系，求轨迹在该坐标系中的方程；(2)判断轨迹与线段是否有交点，若有交点，求出交点位置；8\n若没有交点，请说明理由；（3）证明四点共圆，并求出该圆的方程．20.(本小题满分14分)已知数列、满足：.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(3)设，若恒成立，求实数的取值范围．21.(本小题满分14分)已知函数（为自然对数的底数），，,．（1）判断函数的奇偶性,并说明理由；（2）求函数的单调递增区间；（3）证明：对任意实数和，且，都有不等式成立．高二文科数学期末答案:一、选择题题号12345678910答案CDACBBACDC二、填空题11、12、13、14、15、18\n三、解答题（共80分）16、解：（1），．……………………………4分（2）设应抽取名第一组的学生，则得．故应抽取名第一组的学生．……………………6分（3）在（II）的条件下应抽取名第一组的学生．记第一组中名男生为，名女生为．按时间用分层抽样的方法抽取名第一组的学生共有种等可能的结果，列举如下：．……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有这种结果，………………10分所以既有男生又有女生被抽中的概率为…………………………12分17、解：(I)由已知得：，……………………………2分，……………………………3分，……………………………4分再由正弦定理可得：，……………………………5分所以成等比数列.……………………………6分(II)若，则，……………………………7分∴，……………………………9分，……………………………10分∴△的面积…………………………12分18、证明：8\n19、解：（1）取中点为,以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，…1分那么由于，且……………2分那么动点的轨迹为以焦点，长轴长为4的上半椭圆，那么椭圆的方程为……………4分(2)在（1）所建立的坐标系中，点由两点式得到直线的方程为：，……6分把代入椭圆方程并整理得，解得……8分因为轨迹与线段有且只有一个交点（1，），…………………9分（3）记轴与交点为,由于轴是的中垂线，那么又为直角梯形中位线，则，且，故点坐标为10分计算可得,故四点共圆，…………………………12分且该圆以为圆心，半径为故圆的方程为…………14分8\n（3）另解：要证四点共圆，设圆心为.即证：.由的垂直平分线：，的垂直平分线：…………………10分联立方程组解得，即…………………………12分又，所以，圆的方程为………………………………14分20、解：（1)∵∴……………3分（2）∵∴∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。……………5分∴∴……………7分(3)……………8分∴…9分∴……………10分由条件可知恒成立即可满足条件设……………11分时，恒成立,∴可取；时，由二次函数的性质知不可能成立；∴不可取；时，对称轴f(n)在为单调递减函数．故只要即可，由得 ∴时恒成立……………13分综上知：实数的取值范围为．……………14分21、解:（1）函数的定义域为，且∴函数是奇函数.………………2分8\n（2）…3分当时，且当且仅当时成立等号，故在上递增；……………4分当时，，令得或，故的单调递增区间为或；………………5分当时，，令得或，故的单调递增区间为或．………………6分（3）不妨设,,…………7分令,则只需证………………8分先证,由（2）知在上递增,∴当时，∴，从而由知成立；…………………10分再证，即证：，令，则是减函数，∴当时，，从而成立.………………13分综上，对任意实数和，且，都有不等式成立.…………14分8
