2022-2022学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后填在答题卡的相应位置上．1．集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}则下列结论正确的是（ ）A．A∩B={﹣2，﹣1}B．（CRA）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（CRA）∩B={﹣2，﹣1} 2．在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（ ）A．30°或120°B．60°C．60°或120°D．30° 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，B=，a=3，则c的值为（ ）A．3B．C．3D．6 4．已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（ ）A．8B．6C．﹣8D．﹣6 5．在等差数列{an}中，已知a1+a3+a11=6，那么S9=（ ）A．2B．8；C．18D．36 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（ ）A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC 7．等比数列{an}的首项a1=1，公比为q，前n项和是Sn，则数列的前n项和是（ ）A．B．C．D． 8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为（ ）A．1或2B．C．2D．或2 9．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2022+a2022＞0，a2022．a2022＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（ ）A．4023B．4024C．4025D．4026 -16-10．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（ ）A．﹣165B．﹣33C．﹣30D．﹣21 11．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（ ）A．B．C．D． 12．如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于数列{an}，a1=4，an=f（an﹣1），n=2，3，4，…，则a2022的值是（ ）A．1B．2C．3D．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC中，•＜0，S△ABC=，||=3，||=5，则∠BAC= ． 14．在△ABC中，若a=7，b=8，，则最大角的余弦值是 ． 15．已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10= ． 16．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形． 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2022秋•房山区期末）在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，a=2，sin，且△ABC的面积为4（Ⅰ）求cosB的值；-16-（Ⅱ）求边b、c的长． 18．（12分）（2022•杨浦区一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由． 19．（12分）（2022•福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值． 20．（12分）（2022•浙江）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N*，其中k是常数．（Ⅰ）求a1及an；（Ⅱ）若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 21．（12分）（2022•陆川县校级二模）已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn． 22．（12分）（2022秋•揭阳校级月考）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中cosθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由．-16- 2022-2022学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后填在答题卡的相应位置上．1．集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}则下列结论正确的是（ ）A．A∩B={﹣2，﹣1}B．（CRA）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（CRA）∩B={﹣2，﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意A={y|y=lgx，x＞1}，根据对数的定义得A={y|＞0}，又有B={﹣2，﹣1，1，2}，对A、B、C、D选项进行一一验证．【解答】解：∵A={y|y=lgx，x＞1}，∴A={y|y＞0}，∵B={﹣2，﹣1，1，2}A∩B={1，2}，故A错误；（CRA）∪B=（﹣∞，0]，故B错误；∵﹣1∈A∪B，∴C错误；（CRA）={y|y≤0}，又B={﹣2，﹣1，1，2}∴（CRA）∩B={﹣2，﹣1}，故选D．【点评】此题主要考查对数的定义及集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分． 2．在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（ ）A．30°或120°B．60°C．60°或120°D．30°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．-16-【分析】由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A的值．【解答】解：由题意知，a=2，b=2，∠B=45°，由正弦定理得，，则sinA===，因为0＜A＜180°，且a＞b，所以A=60°或120°，故选：C．【点评】本题考查正弦定理，内角的范围，以及边角关系，属于中档题和易错题． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，B=，a=3，则c的值为（ ）A．3B．C．3D．6【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由A与B的度数求出C的度数，再由sinA，sinC以及a的值，利用正弦定理求出c的值即可．【解答】解：∵在△ABC中，A=，B=，a=3，即C=，∴由正弦定理=得：c===3．故选：A．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 4．已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（ ）A．8B．6C．﹣8D．﹣6【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得，，解方程可得a1，再代入等比数列的通项公式可求．【解答】解：由题意可得，∴a1=4，a2=8故选A【点评】等差数列与等比数列的简单综合是高考（尤其文科）常考的试题类型，主要检验考生对基本公式的掌握程度，属于基础试题．-16- 5．在等差数列{an}中，已知a1+a3+a11=6，那么S9=（ ）A．2B．8；C．18D．36【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据等差数列的通项公式，利用a1+a3+a11=6求得a1+4d的值，进而代入等差数列的求和公式求得前9项的和．【解答】解：a1+a3+a11=3a1+12d=6，∴a1+4d=2∴S9==（a1+4d）×9=18故选C【点评】本题主要考查了等差数列的前n项的和．考查了学生对等差数列基础知识的把握和应用． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（ ）A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】通过C=2B，两边取正弦，利用正弦定理以及二倍角公式，即可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB，则=2cosB．故选：B．【点评】本题考查正弦定理以及二倍角的正弦的公式的应用，求出是解题的关键． 7．等比数列{an}的首项a1=1，公比为q，前n项和是Sn，则数列的前n项和是（ ）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】数列是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：由题意，数列是以1为首项，为公比的等比数列-16-∴数列的前n项和是==故选C．【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为（ ）A．1或2B．C．2D．或2【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a4成等比数列，可得，即，化为a1=﹣4d≠0，或d=0．代入即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1，a3，a4成等比数列，∴，即，化为a1=﹣4d≠0，或d=0．则====2，或===．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2022+a2022＞0，a2022．a2022＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（ ）A．4023B．4024C．4025D．4026【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得到{an}表示首项为正，公差为负数的单调递减数列，且a2022是绝对值最小的正数，a2022是绝对值最小的负数（第一个负数），且|a2022|＞|a2022|，∴a2022＞﹣a2022，a2022+a2022＞0．然后结合等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：∵a1＞0，a2022+a2022＞0，a2022．a2022＜0，-16-∴{an}表示首项为正，公差为负数的单调递减数列，且a2022是绝对值最小的正数，a2022是绝对值最小的负数（第一个负数），且|a2022|＞|a2022|，∴a2022＞﹣a2022，a2022+a2022＞0．又∵a1+a4026=a2022+a2022，∴S4026=＞0，∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4026．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．是中档题． 10．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（ ）A．﹣165B．﹣33C．﹣30D．﹣21【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C【点评】这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力． 11．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（ ）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得-16-∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得⇒sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故选：D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题． 12．如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于数列{an}，a1=4，an=f（an﹣1），n=2，3，4，…，则a2022的值是（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】归纳法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据题意，写出数列{an}的前几项，归纳出数列各项的规律是什么，从而求出a2022的值．【解答】解：根据题意，∵a1=4，∴a2=f（a1）=f（4）=1，a3=f（a2）=f（1）=5，a4=f（a3）=f（5）=2，a5=f（a4）=f（2）=4，…，∴{an}的每一项是4为周期的数列，∴a2022=a2=1．故选：A．【点评】本题考查了用归纳法求数列的项的问题，解题的关键是找出数列各项的规律，是基础题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC中，•＜0，S△ABC=，||=3，||=5，则∠BAC= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．-16-【分析】根据条件可以判断出∠BAC为锐角，从而根据三角形的面积公式即可得到，从而得出sin，从而得出．【解答】解：如图，；∴；∴；∴=；∴；∴．故答案为：．【点评】考查数量积的计算公式，三角形内角的范围及内角和，以及三角形的面积公式：S=，已知三角函数值求角． 14．在△ABC中，若a=7，b=8，，则最大角的余弦值是 ．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】先利用余弦定理求得边c的长度，进而根据大角对大边的原则推断出B为最大角，最后利用余弦定理求得cosB的值．【解答】解：c==3，∴b边最大，∴B为最大角，cosB==﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是判断出三角形中的最大角． -16-15．已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据所给的两个连续的项之和，得到数列的公差的值，代入其中一个式子做出首项的值，根据等差数列的前n项和做出前10项和的结果．【解答】解：∵{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，a7+a8=a1+a2+6d+6d=28，∴d=2，∵a1+a2=2a1+d=4，∴a1=1，∴该数列前10项和S10=10×1+=100，故答案为：100．【点评】本题考查数列的前n项和，考查基本量的运算，解题的关键是基本量的运算，注意运算过程中数字不要弄错． 16．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】由题意可得，f（1）=2+1，f（2）=3+2+1，f（3）=4+3+2+1，f（4）=5+4+3+2+1，f（5）=6+5+4+3+2+1，从而可得f（n），结合等差数列的求和公式可得．【解答】解：由题意可得，f（1）=2+1f（2）=3+2+1f（3）=4+3+2+1f（4）=5+4+3+2+1f（5）=6+5+4+3+2+1…f（n）=（n+1）+n+（n﹣1）+…+1=．故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出f（n）的代数式，考查了归纳推理的能力． 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）-16-17．（10分）（2022秋•房山区期末）在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，a=2，sin，且△ABC的面积为4（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边b、c的长．【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】（I）由二倍角公式cosB=1﹣2可求（II）由cosB，及0＜B＜π可求sinB，，然后由三角形的面积公式可求c，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可求【解答】解：（I）∵sin，∴cosB=1﹣2=1﹣2×=（II）由（I）cosB=，且在△ABC中0＜B＜π∴又由已知S△ABC=4且a=2∴解得c=5∴b2=a2+c2﹣2accosB==17∴∴【点评】本题主要考查了二倍角公式、同角平方关系、三角形的面积公式、余弦定理等公式的综合应用，属于基础试题 18．（12分）（2022•杨浦区一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）先利用正弦定理把（2b﹣c）cosA﹣acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA﹣1）=0，求得cosA，进而求得A．（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b2+c2进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，-16-∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，即∴bc=3①由余弦定理可知cosA==∴b2+c2=6，②由①②得，∴△ABC为等边三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力． 19．（12分）（2022•福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】综合题；转化思想．【分析】（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知an=3﹣2n，所以Sn==2n﹣n2，进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题． -16-20．（12分）（2022•浙江）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N*，其中k是常数．（Ⅰ）求a1及an；（Ⅱ）若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．【考点】等比关系的确定；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）先通过求a1=S1求得a1，进而根据当n＞1时an=Sn﹣Sn﹣1求出an，再验证求a1也符合此时的an，进而得出an（2）根据am，a2m，a4m成等比数列，可知a2m2=ama4m，根据（1）数列{an}的通项公式，代入化简即可．【解答】解析：（1）当n=1，a1=S1=k+1，n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1（*）．经检验，n=1（*）式成立，∴an=2kn﹣k+1．（2）∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a2m2=ama4m，即（4km﹣k+1）2=（2km﹣k+1）（8km﹣k+1），整理得：mk（k﹣1）=0，对任意的m∈N*成立，∴k=0或k=1．【点评】本题主要考查数列等比关系的确定和求数列通项公式的问题．当分n=1和n＞1两种情况求通项公式的时候，最后要验证当n=1时，通项公式是否成立． 21．（12分）（2022•陆川县校级二模）已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据等差数列的两项之和的值，根据等差数列等差中项的性质得到a6，根据连续两项得到数列的公差，根据通项写出要求的第四项和数列的前n项和．（2）本题需要根据上一问的结果构造新数列，把第一问做出的通项代入，整理出结果，发现这是一个裂项求和的问题，得到前n项和．【解答】解（1）∵a3=7，a5+a7=26．∴，∴，∴an=2n+1sn=（2）由第一问可以看出an=2n+1∴-16-=∴Tn=．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的构造，解题的关键是看清新构造的数列是一个用什么方法来求和的数列，注意选择应用合适的方法． 22．（12分）（2022秋•揭阳校级月考）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中cosθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）由余弦定理，BC==10，由此能求出该船的行驶速度．（2）设直线AE与BC的延长线相交于点O，由余弦定理，得cosB=，从而sinB=，由正弦定理，得AQ=40，进而AE=55＞40=AQ，由此推导出船会进入危险水域．【解答】解：（1）如图，AB=40，AC=10，∠BAC=θ，cosθ=，由余弦定理，BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosθ，∴BC==10，-16-∴该船的行驶速度为：=15（海里/小时）．（2）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点O，在△ABC中，由余弦定理，得cosB===，从而sinB===，在△ABQ中，由正弦定理，得：==40，∴AE=55＞40=AQ，且QE=AE﹣AQ=15，过点E作EP⊥BC于点P，在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠B）=15×=3，∴船会进入危险水域．【点评】本题考查船的行驶速度的求法，考查船是否会进入危险水域的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用． -16-
