2022学年安徽省芜湖市一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x≥m，且A∩B=A，则实数m的取值范围是（ ） A．m≥3B．m≤3C．m≤﹣1D．m≥﹣1考点：交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：运用含绝对值不等式的解法化简集合A，根据A∩B=A，说明集合A是集合B的子集，所以集合B的左端点值小于等于集合A的左端点值．解答：解：∵A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥m}，又A∩B=A，∴A⊆B，∴m≤﹣1．故选C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合关系中的参数取值问题，解答此题的关键是端点值的取舍，是易错题．2．（5分）已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有，是z的共轭复数，那么的值为（ ） A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先由求出实数x、y的值，得到复数z，则可求，然后运用复数的除法运算可求得的值．解答：解：因为∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2，∴x=2，y=1，∴z=2+i∴∴．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了两个复数相等的条件，复数相等当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，复数的除法采用分子分母同乘以分母的共轭复数，是基础题． 163．（5分）（2022•芜湖二模）若，，，且，那么与的夹角为（ ） A．150°B．120°C．60°D．30°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直可得数量积为0，代入化简可得，结合向量夹角的取值范围可得答案．解答：解：∵，∴=0，，即，设向量，的夹角为θ，则有，即1+2cosθ=0解得，又θ∈[0，π]，所以θ=120°故选B点评：本题考查向量夹角的求解，涉及数量积的运算及夹角公式，属基础题． 4．（5分）（2022•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ） A．（x+1）2+（y﹣1）2=2B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究． 5．（5分）（2022•芜湖二模）已知{an}是等差数列，a6+a7=20，a7+a8=28，则该数列前13项和S13等于（ ）． A．156B．132C．110D．10016考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质，由条件先求得a7，再由s13=13a7解得．解答：解：由a6+a7=20，a7+a8=28知4a7=48，∴a7=12，S13=13a7=156故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质和其前n项和公式两种形式的选择． 6．（5分）（2022•芜湖二模）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（ ） A．B．C．D．考点：函数的图象；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．解答：解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法． 7．（5分）（2022•天津）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（ ） A．2B．3C．4D．9考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．16分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 8．（5分）（2022•芜湖二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（ ） A．π+B．2C．2πD．考点：由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；数形结合法．分析：由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．解答：解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π16三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=故该几何体的体积是π+故选A．点评：本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征． 9．（5分）（2022•芜湖二模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ） A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先确定函数的周期，再确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f（x+2）=f（﹣x）=f（x），∴T=2∵f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴在[﹣1，0]上是减函数，∵函数是偶函数，∴在[0，1]上是增函数∵α，β是钝角三角形的两个锐角，∴∴，∴∴f（sinα）＜f（cosβ）故选B．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查函数的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10．（5分）（2022•芜湖二模）五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（ ） A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数有3×2，得到概率．16解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52=10种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数，有3×2=6种结果，∴要求的概率是故选A．点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2022•芜湖二模）抛物线y=8x2的焦点坐标为 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化抛物线方程为标准方程，即可求得焦点坐标．解答：解：抛物线y=8x2可化为，焦点在y轴上∵，∴∴抛物线y=8x2的焦点坐标为故答案为：点评：本题考查抛物线的性质，化抛物线方程为标准方程是关键． 12．（5分）（2022•芜湖二模）已知x，y的值如表所示：x234y546如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，那么b= 0.5 ．考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：分析：根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．解答：解：∵，而∴5=3b+3.5∴b=0.5故答案为：0.5点评：点评：本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题，运算量不大，解题的依据也不复杂．16 13．（5分）（2022•芜湖二模）某长方体的对角线长是4，有一条棱长为1，那么该长方体的最大体积为 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设该长方体的另外两条棱长分别为a、b，由长方体的对角线与棱长的关系得a2+b2+12=16，即a2+b2=15，再利用基本不等式的性质即可求出该长方体的最大值．解答：解：设该长方体的另外两条棱长分别为a、b，则a2+b2+12=16，∴a2+b2=15，∴，当且仅当a=b=时取等号．∴该长方体的最大体积为．故答案为．点评：会利用长方体的三条棱长表示对角线出及利用基本不等式的性质是解题的关键． 14．（5分）（2022•芜湖二模）执行如图所示的程序框图，若输入x=5.2，则输出y的值为 0.8 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出y．16解答：解：经过第一次循环得到y=3.2，x=3.2经过第二次循环得到y=1.2，x=1.2经过第三次循环得到y=0.8，x=0.8，此时，满足判断框中的条件，执行“是”，输出0.8故答案为：0.8点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时常采用写出前几次循环的结果，找规律． 15．（5分）（2022•芜湖二模）给出以下五个命题：①命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，x2+x+1＜0”．②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a﹣2）x﹣1垂直的充要条件．④函数在区间（0，1）上存在零点．⑤已知向量与向量的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（）其中正确命题的序号是 ②③④ ．考点：命题的真假判断与应用．分析：根据全称、特称命题的否定方法，可判断①的真假；根据已知求出k值，进而求出导数解析式，代入点的横坐标，可判断②的真假；根据直线垂直的充要条件，可斜率积为﹣1，可判断③的真假；根据零点存在定理可得④的真假根据m=﹣2时两向量同向，夹角为0，可判断⑤的真假解答：解：①错，命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，x2+x+1≤0”．②中，∴k=2，∴f（x）=2cosx，∴f'（x）=﹣2sinx斜率正确③正确，a=1时，直线y=ax+1和直线y=（a﹣2）x﹣1垂直成立，直线y=ax+1和直线y=（a﹣2）x﹣1垂直时，斜率积为﹣1，则a=1④中f（0）=1＞0，∴有零点，正确⑤错，m≠﹣2，当m=﹣2时两向量同向故答案为：②③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，熟练掌握相关的基本概念是关键． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1616．（13分）（2022•芜湖二模）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先由向量的运算结合三角函数公式化简为，（1）由公式易求得得周期和对称轴；（2）转化为函数y=的减区间；（3）由x的范围开始逐步求解范围，可得答案．解答：解：由题意可得：=…（4分）（1）由上可知：T==π…（5分）由2x=k解得：对称轴方程为…（7分）（2）f（x）增区间即为的减区间，由≤2x，解得f（x）的单调递增区间为…（10分）（3）∵∴∴∴值域为…（13分）点评：本题为三角函数和向量的综合应用，熟练利用公式是解决问题的关键，属中档题． 17．（12分）（2022•芜湖二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E是PD上一点．（1）求证：AC⊥BE．16（2）若PD=AD=1，且∠PCE的余弦值为，求三棱锥E﹣PBC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：转化思想．分析：（1）连接BD，由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，可得PD⊥AC，进而得到AC⊥面PBD，由线面平行的定义，可得答案．（2）设PE=x，由勾股定理求出CE，结合∠PCE的余弦值为，由余弦定理可得x值，代入棱锥体积公式可得答案．解答：解：（1）连接BD∵ABCD是正方形∴AC⊥BD又PD⊥面ABCD∴PD⊥AC∵PD∩BD=D∴AC⊥面PBD，又BE⊂面PBD∴AC⊥BE…（6分）（2）设PE=x，则又∴△PCE中，由余弦定理解为：∴∴…（12分）点评：（1）的关键是于熟练掌握线面垂直，线线垂直之间的相互转化，熟练掌握线面垂直的定义及判定是基础；（2）的关键是利用等积法，将三棱锥转化为B﹣PEC，解三角形PEC求出底面面积 18．（12分）（2022•芜湖二模）某省对省内养殖场“瘦肉精”使用情况进行检查，在全省的养殖场随机抽取M个养殖场的猪作为样本，得到M个养殖场“瘦肉精”检测阳性猪的头数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图如下：分组频数频率16[10，15）100.25[15，20）24n[20，25）mP[25，30）20.05合计M1（1）求出表中M，P以及图中a的值．（2）若该省有这样规模的养殖场240个，试估计该省“瘦肉精”检测呈阳性的猪的头数在区间[10，15）内的养殖场的个数．（3）在所取样本中，出现“瘦肉精”呈阳性猪的头数不少于20头的养殖场中任选2个，求至多一个养殖场出现“瘦肉精”阳性猪头数在区间[25，30）内的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：阅读型．分析：（1）由频率=，结合表格易得所要求的数据；（2）同样由（1）的等式可得答案；（3）通过列举的方式可得“两个养殖场都在区间[25，30）内”的概率，由对立事件的概率可得．解答：解：（1）由题意可得，解得M=40，∴m=4，，，∴…（4分）（2）∵养殖场有240个，分组[10，15]内的频率是0.25∴估计全省在此区间内养殖场的个数为240×0.25=60个…（7分）（3）由（1）可知在区间[20，25）内的养殖场共4个，设为{a1，a2，a3，a4}，在区间[25，30）内的共2个，设为{b1，b2}任选2个养殖场共（a1，a2）（a1，a3）（a1，a4）（a1，b1）（a1，b2）（a2，a3）（a2，a4）（a2，b1）（a2，b2）（a3，a4）（a3，b1）（a3，b2）（a4，b1）（a4，b2）（b1，b2）共15种情况，而两个养殖场都在区间[25，30）内只有一种（b1，b2），故“两个养殖场都在区间[25，30）内”与所求的事件为对立事件故所求概率…（12分）点评：16本题为概率与统计的综合，由图表求对数据，列对基本事件数是解决问题的关键，属基础题． 19．（12分）（2022•芜湖二模）设函数（1）若函数f（x）在x=﹣1处取得极值﹣2，求a，b的值．（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）对f（x）进行求导，根据已知条件函数f（x）在x=﹣1处取得极值﹣2，可得f′（﹣1）=0，和f（﹣1）=2，分别解出a，b的值；（2）需要对b进行讨论：b≤0和b＞0两种情况，利用导数研究函数的单调性，根据f′（x）＞0在区间（﹣1，1）内大于0，求出b的范围；解答：（1）∵函数函数f（x）在x=﹣1处取得极值﹣2，依题意：…（6分）（2），∵a＞0，∴当b≤0时f'（x）≤0，函数f（x）在（﹣1，1）内不可能增，舍去；当b＞0，时若时f'（x）＞0，f（x）递增，∴∴，故所求范围为[1，+∞）…（12分）点评：此题主要考查利用导数研究函数的极值问题，是一道基础题，比较简单，解题过程中用到了分类讨论的思想； 20．（13分）（2022•芜湖二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=1﹣an（n∈N*）．各项为正数的数列{bn}中，16对于一切n∈N*，有，且b1=1，b2=2，b3=3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{anbn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．考点：数列递推式；数列的求和．专题：压轴题；规律型．分析：（1）由Sn=1﹣an，解得．an=Sn﹣Sn﹣1=（1﹣an）﹣（1﹣an﹣1），由此得2an=an﹣1，从而得到数列{an}的通项公式．对于一切n∈N*，有，当n≥2时，有，由此得（n﹣1）bn+1﹣nbn+b1=0，从而得到数列{bn}的通项公式．（2）由数列anbn的前n项和为Tn，知，再由错位相减法知==．由此能够证明Tn＜2．解答：（1）解：∵Sn=1﹣an，当n=1时，a1=S1=1﹣a1，解得．（1分）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（1﹣an）﹣（1﹣an﹣1），得2an=an﹣1，即．（3分）∴数列an是首项为，公比为的等比数列．∴．（4分）∵对于一切n∈N*，有，①当n≥2时，有，②1﹣2②得：3化简得：（n﹣1）bn+1﹣nbn+b1=0，③用n+1替换③式中的n，得：nbn+2﹣（n+1）bn+1+b1=0，④（6分）16③﹣④整理得：bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn，∴当n≥2时，数列bn为等差数列．∵b3﹣b2=b2﹣b1=1，∴数列bn为等差数列．（8分）∵b1=1，b2=2∴数列bn的公差d=1．∴bn=1+（n﹣1）=n．（10分）（2）证明：∵数列anbn的前n项和为Tn，∴，⑤∴，⑥⑤﹣⑥得：（12分）==．∴．（14分）点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和数列前n项和的证明，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，注意错位相减法的灵活运用． 21．（13分）（2022•芜湖二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，﹣2），点C满足，其中m，n∈R且m﹣2n=1．（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；（2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．（3）由（2）得从而又e得出16．解得双曲线实轴长2a的取值范围即可．解答：解：（1）设C（x，y），∵∴（x，y）=m（1，0）+n（0，﹣2）．∴∵m﹣2n=1，∴x+y=1即点C的轨迹方程为x+y=1（15分）（2）由得（b2﹣a2）x2+2a2x2﹣a2﹣a2b2=0由题意得（8分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则∵以MN为直径的圆过原点，∴．即x1x2+y1y2=0．∴x1x2+（1﹣x1）（1﹣x2）=1﹣（x1+x2）+2x1x2=．即b2﹣a2﹣2a2b2=0．∴为定值．（14分）（3）∵∴∵e∴．∴解得：0＜a≤，0＜2a≤116∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力． 16
