2022-2022学年度第一学期期中两校联考理科数学试题一．选择题（共12小题，满分60分）1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数的取值可以为（）A.0B.1C.-1D.23.设命题“任意”，则非为（）A.存在B.存在C.任意D.任意87890123344.若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A.91、5.5B.91、5C.92、5.5D.92、55.△中,,则△的面积为（）是否结束开始输入输出A．3B．C．6D．46．如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入，，，的值依次是，，，，则输出的值为（）A．B．C．D．7.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为()A.2+B.2-C.2D.8．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是()10\nA．B．C．D．9.某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A.B.C.D.10．函数的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数在区间上的最小值为( )A．－ B．－ C． D．11.设函数，若函数为定义在上的奇函数，其导函数为，对任意实数满足，则不等式的解集是（）A.B.C.D.12．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）A．B.C.D.二．填空题（共4小题，满分20分）13.若则=14.在数列中，，则通项15.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则10\n的最大值等于________16．已知函数，方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是三．解答题（共6小题，满分70分）17．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，且⑴求的通项公式⑵若，求数列的前项和18．（本小题满分12分）某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.⑴求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；⑵用分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.19．（本小题满分12分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，，.（1）若为中点，求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的准线方程为过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线10\n过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.(1)求抛物线的方程;(2)求证:21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求的极大值；（2）若在函数的定义域内存在区间，使得该函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；（3）当时，若曲线：在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求的值或取值范围．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=36°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．（3）若点C平分优弧AB，且，试求α的度数.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线，曲线（1）写出曲线的参数方程与曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最大值，并求此时点的坐标．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设.（1）求的解集;（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数x的取值范围.2022-2022学年度第一学期期中两校联考理科数学试题答案1-12：CABADDACBACA13.14.15.16.10\n17.解：（1）由于为等差数列，若设其公差为，则，，，解得，………4分于是，整理得；………6分（2）由（1）得，………8分所以.………12分18.解：（1）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为…2分设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件，则.这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率………5分（2）易知的所有可能取值为.………6分,,.………9分所以的分布列是034P随机变量ξ的数学期望.………12分19.解：（1）证明：连结,交与,连结，中，分别为两腰的中点∴………2分因为面,又面，所以平面………4分10\n（2）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则………6分设平面的单位法向量为，则可设………7分设面的法向量，应有即：解得：，所以………10分∴………11分所以平面与所成锐二面角为60°……12分解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG，垂足为H，连结HC………6分∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D∴CD⊥平面PAD∴CD⊥PG，又CD∩DH=D∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC………8分∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角………9分在△中，，可以计算……10分在△中，………11分所以平面与所成锐二面角为60°………12分10\n20.解：（1）由题设知，，即所以抛物线的方程为………2分（2）因为函数的导函数为，设，则直线的方程为，………4分因为点在直线上，所以．联立解得．…………5分所以直线的方程为．………6分设直线方程为，由，得，所以．…………8分由，得．…………9分,…12分21解：（1）当时，，其定义域．又．∵，故由，得．…………1分∴当时，，递增；当，，递减．10\n因此当时，取得极大值；……2分（2）（法一），即在上有解．当显然成立；…………4分当时，由于函数的图像的对称轴，故须且只须，即，故．…………5分综上所述得，故实数的取值范围为；…………6分（若在上有解，最后有检验也是可以的）（法二），即在上有解．即在能成立，即，设，问题成立只需…………5分故实数的取值范围为；…………6分（3）因为，，故切线方程为，即，…………7分从而方程在上有且只有一解．设，则在上有且只有一个零点,又，故函数有零点．…8分则．当时，，又不是常数函数，故在上递增．∴函数有且只有一个零点，满足题意；…………9分当时，由，得，或．且由，得，或；由，得；故当在上变化时，、的变化情况如下表：(此表可省略)10\n递增极大值递减极小值递增根据上表知．…………10分又．∴，故在上，函数又有一个零点，不符；…………11分综上所述得．…………12分22.解：（1）连接OB，则OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，∵∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA，∴∠AOB=180°﹣36°﹣36°=108°，∴β=∠C=∠AOB=54°．…………3分（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°﹣2α，∵β=∠C=∠AOB，∴β=（180°﹣2α）=90°﹣α，K∴α+β=90°．…………6分（3）∵点C平分优弧AB∴=∴AC=BC又∵BC2=3OA2，则：AC=BC=OA,过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，∴∠CAO=30°易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC为正三角形，则：α=∠CAB－∠CAO=30°…………10分23.解：（1）曲线C1的参数方程：…………2分曲线C2的普通方程：…………5分（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线的距离为……7分10\n∴当时，d的最大值为，………9分此时点P的坐标为．………10分24.解：(1)由有………3分解得，………4分………5分（2）………7分当且仅当时取等号.由不等式对任意实数恒成立，可得解得………10分10
