2022-2022学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1.已知是虚数单位，和都是实数，且,则（）A.B.C.D.2.已知，则（ ）A.1B.2C.3D.53.数列满足，若，则=（）A．B．C．D．4.已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．B．4C．D．6甲乙8541867975490145665100555.甲、乙两所学校高三级某学年10次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平均分及方差的大小关系为（）A．B．C．D．6.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是()A.B.C.D.7.下列命题中正确命题的个数是（）①“数列既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列是常数列”；②不等式表示的平面区域是一个菱形及其内部；-11-\n③f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x＞0时的解析式是f(x)＝2x，则x＜0时的解析式为f(x)＝－2－x；④若两个非零向量共线，则存在两个非零实数，使.A．4B．3C．2D．18.定义在上的函数满足：①为正常数）；②当时，若函数的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则=（）A.1 B.2 C.1或2 D.2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9．函数的定义域为集合，集合.若，则实数的取值范围为；10.在的展开式中含项的系数为；（用数字作答）11．观察式子：,由此归纳出一个正确的一般结论为：；12.定义某种运算,的运算原理如图所示,设,,则输出的的最大值与最小值的差为；抛物线的焦点为，过点N(3,0)的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比为；（二）选做题(考生只能选做一题)14．极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是．15．如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过点作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，则线段DE的长度为．-11-\n三．解答题（本小题满分12分）设函数.(I)求的最小正周期，并指出由的图像如何变换得到函数的图像；(II)中角A，B，C的对边分别为，，，若，，求的最小值．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。(I)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(II)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．（本小题满分14分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．BADCE(I)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明；(II)在(I)的条件下，求二面角F-BE-A的正弦值.（本小题满分14分）设数列是公比为正数的等比数列，，，数列满足：(I)求数列的通项公式；(II)求数列的前n项和；-11-\n（III）数列满足：，求证：-11-\n（本小题满分14分）已知点P是椭圆上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足＝＋，。(I)求动点Q的轨迹E的方程；(II)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹E于两点且，求三角形面积的取值范围。（本小题满分14分）已知函数,()当时，存在（e为自然对数的底数）,使,求实数a的取值范围;(II)当时,(1)求最大正整数n,使得对任意个实数,当（e为自然对数的底数）时,都有成立;(2)设,在的图象上是否存在不同的两点,使得.-11-\n数学(理科)参考答案一、选择题：（8小题，共40分）题号12345678答案AAACDBBC8.【解析】由已知可得，当时，当时，当时，由题意可知函数的图象上所有极小值对应的点共线，则二、填空题：（共6小题，共30分）9.10.2011.12.213.14.15.2三．解答题16．解：(I)∵3分∴的最小正周期…4分由的图像向右平移个单位长度得到函数…6分(II)由由A∈(0，π)，可得A＝.…8分由b＋c＝2及余弦定理，得＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc=4－3bc，…10分又仅当b＝c＝1时bc取最大值，此时取最小值1.…12分-11-\n17解：(I)3名学生选择的选修课所有不同选法有种；…2分各人互不相同的选法有种，互不相同的概率:;…4分(II)选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1,2,3,…5分，，…9分所以X的分布列为X0123P…10分数学期望…12分18.解法一：（I）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则，∴，…2分∴四边形ABFH是平行四边形，∴，由平面ACD内，平面ACD，…4分平面ACD；…5分BADCGEK（II）取AD中点G，由已知可得平面平面，且交于,平面ACD平面过G作交BE于K,连CK…8分由三垂线定理知,又平面BEA,平面FBE为二面角F-BE-A的平面角…10分-11-\n由（I）已证AB//ED，知又AB=1,DE=AD=2∴所求角的正弦值为.…14分或解：（II）由已知条件可知即为在平面ABED上的射影，设所求的二面角的大小为，则，…8分由已知求得BC=BE，CE，∴…10分而，…12分∴∴所求角的正弦值为.…14分解法二：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，，，，…2分BADCFE(I)点F应是线段CE的中点，下面证明：设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，显然与平面平行，又…5分∴BF∥平面ACD…6分(II)设平面BCE的法向量为，则，且，由，，-11-\n∴，不妨设，则，即，…10分而平面的一个法向量为，…11分∴，设二面角F-BE-A的平面角为,则∴所求角的正弦值为.…14分19解：(I)设数列的公比为，由，，得，即．…2分解得或，…3分∵∴不合舍去，∴；…4分(II)由得，…6分∴数列是首项公差的等差数列，…7分∴．…8分（III）由(I)(II)有…9分时，…12分-11-\n所以，原不等式成立。…14分其它解法如：,又如等参照上面给分20解：(I)如图由＝＋，又＋＝＝2＝－2，…2分设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，…4分即P点坐标为，又P在椭圆上，则有，即.…6分(II)当斜率不存在或为零时，由图可知…7分当斜率存在且不为零时，设：，代入得…8分以代换同理可得…9分…10分…11分当且仅当时等号成立。而时，与轴或轴垂直，不合题意。…13分而三角形面积的取值范围为…14分-11-\n21解:(I)…1令则当时,当时,…4分(II)(1)均为增函数的最大值为2686.…8分(2)原式①令①式令在上是增函数无零点,故A、B两点不存在…14分-11-
