绝密★启用前广州市七区2022学年第二学期期末教学质量监测试卷高二数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式与数据：１.在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，若每次试验中事件发生的概率为，则２..第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】选D.，所以对应的点在第四象限.2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数12\n【解析】选Ｄ.把全称量词改为存在量词，并把结果否定.3．已知随机变量服从正态分布，且，则( )A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解析】选D.由正态分布的规律可知.4．由曲线所围成图形的面积为( )A．B．C．D．【解析】选Ｂ.由定积分的定义可知，面积为.5．双曲线的实轴长是( )A．2B．C．4D．【解析】选C.可变形为，则，，.6．若，则的解集为( )A．B．C．D．【解析】选C.因为，原函数的定义域为，所以由可得，解得．7.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】选D.有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有种方案，共计有60种方案.8．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出12\n成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若成立，则成立Ｂ．若成立，则成立Ｃ．若成立，则当时，均有成立Ｄ．若成立，则当时，均有成立【解析】选D．对于A选项，原命题的否命题不一定成立；对B选项，由原命题与其逆否命题等价可知，应有；对C选项，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：对任意的，均有成立；对D选项，因为，所以对于任意的，均有成立．第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知，则．【解析】填13．.10．在的二项展开式中，第4项的系数为．【解析】填.因为，所以第4项的系数为.11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了1枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用在10箱子中各任意抽查的方法来检测，国王能发现至少一枚劣币的概率为．【解析】填.每箱的选中劣币的概率为，10箱子中一枚劣币也不能检测出的概率为，所以国王能发现至少一枚劣币的概率为．12．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量12\n（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件．【解析】填９.令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值.13．设函数，已知根据以上事实，由归纳推理可得：当，且时，.【解析】填，观察知四个等式等号右边的分母为，即，所以归纳出分母为的分母为，故当且时，.14.抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线焦点的距离为．【解析】填.点坐标为，点坐标为，由抛物线的定义可知，解得，点坐标为，所以点到抛物线准线的距离为.三、12\n解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）求函数的极值.【解析】因为，所以2分令，解得，或.由，得，或；由，得．4分当变化时，，的变化情况如下表：300单调递增19单调递减单调递增8分因此当时，有极大值，极大值为；10分当时，有极小值，极小值为.12分16.（本小题满分12分）已知动点在直线的下方，点到直线的距离与定点的距离之和为4，求动点的轨迹方程.【解析】设动点的坐标为．1分因为点在直线的下方，所以，依题意有4分因为，所以6分平方化简得8分因为，所以，解得10分12\n所以所求的轨迹方程为.12分17．（本小题满分14分）设图像的一条对称轴是.（1）求的值；（2）证明：对任意实数，直线与函数的图象不相切．【解析】（1）由对称轴是，得，2分即３分所以４分而，所以．6分（2）因为.所以，8分即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，10分所以直线不是函数的切线．12分18.（本小题满分14分）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.12\n（1）求证：平面；（2）若点在线段上移动，试问是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：在梯形中，，，，所以，，2分所以，所以，3分又平面平面，是交线，平面，所以平面.5分（2）由（1）知两两互相垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，12\n则的坐标分别为，设的坐标为，则，7分设是平面的法向量，则9分取，得，10分显然是平面的法向量，于是11分12分化简得此方程无实数解，13分所以线段上不存在点使得平面与平面所成二面角为．14分19．（本小题满分14分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米12\n微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．日均值(微克/立方米)2837143445563879863925某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（3）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．【解析】（1）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级”为事件，则．4分（2）的可能值为0，1，2，3.，，，.8分所以的分布列为10分．12分（3）15天的空气质量达到一级或二级的频率为12\n，所以估计一年中有243天空气质量达到一级或二级.14分（说明：答243天，244天不扣分）20.（本题满分14分）如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于，.（１）若时，恰好为线段的中点，试求椭圆的离心率；（２）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；（３）设为圆上不同于的一点，直线的斜率为，当时，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）当时，点在轴上，且点的坐标为，则点的坐标为，由点在椭圆上得，2分12\n所以，3分，所以.4分（2）设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义知，所以，即在线段的中垂线上，所以，6分又因为，所以，所以，代入椭圆方程得，7分所以.8分（3法一：由得，所以，或，10分所以，所以，则．11分由，得12\n得，或，易得12分当时，，，13分因为为圆，所以所对圆的弦为直径，从而经过定点．所以14分法二：直线过定点，证明如下：6分设，，则8分，10分所以，又1２分所以三点共线，即直线过定点．14分12
