和诚中学2022--2022学年度高三12月月考数学理科考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知单元素集合A=｛x｜x2-(a+2)x+1=0｝，则A．B．C．或D．或2．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系A．B．C．D．3．在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，，则向量A．B．C．D．4．若满足约束条件，则的取值范围是A．B．C．D．5．在△中，点为边上一点，若，，，12，则△的面积是7题图A．B．C．D．6.是数列的前项和，且对，都有，则A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是A.B.C.D.8..直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围A.-1<k<错误！未找到引用源。b.k>1或k<错误！未找到引用源。C.k>错误！未找到引用源。或k<-1D.k>错误！未找到引用源。或k<-19.我校餐厅在5S管理标准化执行过程中，工作人员在洗漱池旁边制作了如右图的“节俭槽”的几何体，底面ABCD为矩形,且EF∥底面ABCD,EF到平面ABCD的距离为h,BC=a,AB=b,EF=c,则VB-CDEF/VE-ABD=2时,b/c=A.1B.2C.3D.10.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=2,an+2+(-1)n-1an=1,则S40=A.260B.250C.240D.230xy第11题图11．如图，在中，，，.若其顶点12在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动．设顶点的纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是yOπByOπAπyOCπyOD12.记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是().A.1660B.840C.1250D.430二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13．复平面内表示复数的点位于第三象限，则实数的取值范围是14．已知，则15.已知正项数列{an}满足错误！未找到引用源。-6错误！未找到引用源。=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和为________. 16．一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为，则该正方体的体积是________．12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等比数列中，，，-=，．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．18.(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sinC，.（1）求；（2）若的平分线交于，且△ABC的面积为，求的长.19.(12分)如图，四棱柱的底面为菱形，且.19题图（1）证明：四边形为矩形；（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.1220.(12分)设函数f(x)=ax2+lnx.(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率是-1,求a.(2)已知a<0,若f(x)≤-恒成立,求a的取值范围.21.(12分)设数列{an}的前n项和Sn,a1=1,Sn=nan-3n(n-1)(N*)(1)求数列{an}的通项公式an.(2)是否存在正整数n,使得错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。(n-1)2=2016?若存在,求出n值;若不存在,说明理由.22.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.12和诚中学2022--2022学年度高三12月月考数学理科答案一、选择题：1．D【解析】因为集合中只有一个元素，所以，解得或．2．B【解析】因为，所以单调递增，又，所以．3．C【解析】．4．A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由图知，设，则，的几何意义是区域内的点与点连线的斜率，由图知，的斜率最大，的斜率最小，由得，由得，故直线的斜率，的斜率，则，故，即．5．C【解析】，且，．在△中由余弦定理有，解得．在Rt△中，可得，．则．6.B【解析】由，可知，，两式相减，得，7题答图整理得，由可得，则.7.C【解析】该几何体是如图所示的四面体.12则其体积为.8.D【解析】直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.【一题多解】选D.当k=0时,该直线在x轴上的截距不存在,不符合题意,所以可排除A,B,C三个选项.9.A10.C【解析】因为an+2+(-1)n-1an=1,所以a2k+1+a2k-1=1,a2k+2-a2k=1,k∈N*,所以数列是等差数列,首项为2,公差为1.S40=[(a1+a3)+…+(a37+a39)+(a2+a4+…+a38+a40)]=10+2×20+×1=240.11．A【解析】由题意可得，．12.D【解析】令，得①或②，由①得，令，得，故①共有个解，由②得，令，得③，令，得④，当为偶数时，③有个解，④有个解，故②有个解，故；当为奇数时，③有个解，④有个解，故②有个解，故.令，故13.【解析】由题意知满足解得.14．【解析】由可得．所以．1216．【解析】由题意可知，该正方体的一条对角线即为俯视方向(如图(1))，距最高点最近的三个顶点构成的平面(图中阴影平面)与俯视方向垂直(如图(2))，由俯视图中正六边形边长为1,可知图(3)中，故图(2)中，容易算得正方体面对角线长(阴影正三角形边长)为，进而可得正方体的棱长为，故体积为．三、解答题17．解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则q＞0．因为-=，所以-=，因为q＞0，解得q=2．所以an=×2n-1=2n-7，n∈N*．（2）bn=(-1)nlog22an=(-1)nlog222n-7=(-1)n(n-7)2．设cn=n-7，则bn=(-1)n(cn)2．T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=-c12+c22-c32+c42+…-c2n-12+c2n2=（-c1+c2）（c1+c2）+（-c3+c4）（c3+c4）+…+（-c2n-1+c2n）（c2n-1+c2n）=c1+c2+c3+c4+…+c2n-1+c2n==．18.解：（1）因为sinA=2sinC，所以a=2c.于是，（2）由可得，设的面积为，,,，则，为的平分线，，，又，，在中，由余弦定理可得，1219.（1）证明：连接，设；连接.，，.xyz19题答图(E)又为的中点，.平面，.∥，.又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.(2)解：过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，.设，则.在菱形中，，.点与点重合，则平面.以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量为则，，即.取，可得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为..所以二面角的余弦值为.20.【解析】(1)由f(x)=ax2+lnx,可得f′(x)=2ax+,所以f′(1)=-1,解得a=-1.(2)f′(x)==(x>0,a<0).令f′(x)=0,则x=.12当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故x=为函数f(x)的唯一极大值点,所以f(x)的最大值为f=-+ln.由题意有-+ln≤-,解得a≤-.所以a的取值范围为.21.【解析】(1)Sn=nan-3n(n-1)(n∈N*),所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),两式相减得:an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-3(n-1)即(n-1)an=(n-1)an-1+6(n-1),也即an-an-1=6,所以{an}是首项为1,公差为6的等差数列,所以an=6n-5.(2)Sn=nan-3n(n-1)=n(6n-5)-3n(n-1)=3n2-2n,所以=3n-2,+++…+=3(1+2+3+…+n)-2n=-2n=n2-n,12所以+++…+-(n-1)2=n2-n-(n-1)2=-=2016,所以5n=4035,所以n=807,即当n=807时,+++…+-(n-1)2=2016.22.【解析】(1)由于f错误！未找到引用源。=ae2x+错误！未找到引用源。ex-x,故f'错误！未找到引用源。=2ae2x+错误！未找到引用源。ex-1=错误！未找到引用源。,①a≤0时,aex-1<0,2ex+1>0.从而f'错误！未找到引用源。<0恒成立.f错误！未找到引用源。在R上单调递减.②a>0时,令f'错误！未找到引用源。=0,从而aex-1=0,得x=-lna.x(-∞,-lna)-lna(-lna,+∞)f'错误！未找到引用源。-0+f错误！未找到引用源。单调减极小值单调增综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,当a≤0时,f错误！未找到引用源。在R上单调减,故f错误！未找到引用源。在R上至多一个零点,不满足条件.当a>0时,f(x)min=f(错误！未找到引用源。=1-错误！未找到引用源。+lna.令g错误！未找到引用源。=1-错误！未找到引用源。+lna错误！未找到引用源。,则g'错误！未找到引用源。=+错误！未找到引用源。>0.从而g错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调增,而g=0.故当0<a<1时,g错误！未找到引用源。<0;当a=1时g错误！未找到引用源。=0;当a>1时g错误！未找到引用源。>0.若a>1,则f(x)min=1-错误！未找到引用源。+lna=g错误！未找到引用源。>0,故f错误！未找到引用源。>0恒成立,从而f错误！未找到引用源。无零点,不满足条件.若a=1,则f(x)min=1-+lna=0,故f错误！未找到引用源。=0仅有一个实根x=-lna=0,不满足条件.若0<a<1,则f(x)min=1-错误！未找到引用源。+lna<0,注意到-lna>0.12f错误！未找到引用源。=++1->0.故f错误！未找到引用源。在上有一个实根,而又>ln=-lna.且f=-ln错误！未找到引用源。=·-ln=-ln>0.故f在上有一个实根.又f在上单调减,在单调增,故f在R上至多两个实根.又f在及上均至少有一个实数根,故f在R上恰有两个实根.综上,a的取值范围为.12</a<1,则f(x)min=1-错误！未找到引用源。+lna<0,注意到-lna></a<1时,g错误！未找到引用源。<0;当a=1时g错误！未找到引用源。=0;当a></k<错误！未找到引用源。b.k>
