山西省应县第一中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理时间：120分钟满分：150分一．选择题（共12题，每题5分）1．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（ ）A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合2．点（﹣2，3）到直线l：3x+4y+3=0的距离是（ ）A．2B．C．D．3．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程是（ ）A．x2+（y﹣2）2=1B．x2+（y+2）2=1C．x2+（y﹣3）2=1D．x2+（y+3）2=14．对于不重合的两个平面α与β，则“存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β”是“α∥β”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5.设是非零向量,“”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A．2B．2C．3D．27．下列命题中正确的是（ ）A．经过点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示-7-\nB．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示C．经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示8．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面( )A.—定平行 B.—定相交 C.平行或相交 D.—定重合9．若直线y=﹣2x+3k+14与直线x﹣4y=﹣3k﹣2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（ ）A．﹣6＜k＜﹣2B．﹣5＜k＜﹣3C．k＜﹣6D．k＞﹣210．若方程x2+y2﹣4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．R11.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( )A.B.C.D.12．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条二．填空题（共4题，每题5分）13.“数列满足(其中为常数)”是“数列是等比数列”的.14．已知A（2，3）、B（1，0），动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为 ．15．若直线kx﹣y﹣k+2=0与直线x+ky﹣2k﹣3=0交于点P，则OP长度的最大值为 ．16．已知圆和两点A（0，m），B（0，﹣m）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围为．三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）17．已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y﹣1=0．（1）求l1与l2交点坐标；（2）求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程．-7-\n18．已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．19．已知圆的方程为：（x﹣1）2+y2=1求：（1）斜率为3且与圆相切直线的方程；（2）过定点（2，﹣3）且与圆相切的直线的方程．20．在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程．-7-\n21.如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点．（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．DEACBP22．已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．-7-\n高二期中考试理数答案2022.10123456789101112CBCCABCCAACC13.必要不充分条件14.（0，1）15.2+116.[1，3]17．【解答】解：（1）联立两条直线的方程可得：解得x=1，y=﹣1,所以l1与l2交点坐标是（1，﹣1）．（2）设与直线x+y+1=0平行的直线l方程为x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点（1，﹣1）,所以c=0,所以直线l的方程为x+y=0．18．【解答】解：（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M，因为四边形ABCD为平行四边形，所以对角线互相平分，又A（﹣1，2），C（4，1）．∴M，又B（0，﹣1），所以顶点D的坐标为（3，4）．（Ⅱ）依题意可得kBC==，故直线BC的方程为y=x﹣1，即x﹣2y﹣2=0，又|BC|==2，点A到直线BC的距离d==．所以四边形ABCD的面积S=|BC|•d=2=14．19．【解答】解：（1）圆的方程为：（x﹣1）2+y2=1，设斜率为3且与圆相切的直线方程为y=3x+b，则圆心C（1，0）到该直线的距离为d==1，解得b=﹣3±，∴y=3x﹣3+或y=3x﹣3﹣；（2）设过定点（2，﹣3）且与圆相切的直线方程为y+3=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣3=0，-7-\n则圆心C到该直线的距离为d==1，解得k=﹣，∴切线方程为y+3=﹣（x﹣2），即4x+3y+1=0；又当斜率k不存在时，直线x=2也是圆的切线；综上，所求圆的切线为x=2或4x+3y+1=0．20．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得，或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即kx﹣y+4=0，由于圆心（1，2）到该直线的距离为=1，故有=1，求得k=﹣，∴直线l的方程为﹣x﹣y+4=0，即3x+4y﹣16=0．综上可得，直线l的方程x=0，或3x+4y﹣16=0．21.DEACBP（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB，同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．因为＝＋＋＝2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋∴、、共面．PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．（2）解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AGsin60°＝a，-7-\n所以tanθ＝．22．【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣3）2=9﹣m，∴圆心C（﹣，3），半径r2=9﹣m＞0，即m＜，∵圆心C到直线l的距离d2=，直线l与圆C没有公共点∴9﹣m＜，即m＞8，则m的范围为（8，）；（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，将直线l与圆方程联立消去y得到：5x2+10x+4m﹣27=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣2，x1x2=，y1y2=•==，∵x1x2+y1y2=0，∴+=1，解得：m=3．-7-
