平遥中学2022—2022学年度第一学期高二期中考试数学试题（文理科）本试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共60分）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（ ）A.30°B.60°C.120°D.150°2.给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确命题的个数是（ ）A.1个[B.2个C.3个D.4个3．在空间直角坐标系中，若A（0，2，5），B（-1，3，3），则|AB|=（ ）A.B.3C.D.4.直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）A.a=2，b=5B.a=2，b=-5C.a=-2，b=5D.a=-2，b=-55．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条6.已知满足，则直线必过定点（ ）A.B.C.D.7.如图，是用斜二测画法画出来的直观图，其中，，，则的面积（）A．B．C．D．8．若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）A．（4，6）B．（6，+∞）C．（﹣∞，4）D．[4，6]9．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣-8-\n10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A.B.C.D.311.已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h，h<,侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A、B、C、D、12.如图在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若∥平面AEF，则线段长度的取值范围是（）A、B、C、D、二、填空题（每题5分，共20分）13．已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ．14．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 ．15.已知经过点作圆的两条切线，切点分别为两点，则直线的方程为．16.已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长为球半径的倍，且圆和圆所在平面所成的二面角是，，则圆的半径为．三、简答题（17题10分，其余每题12分）17．已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．18.如图，在棱长为的正方体中，点分别是-8-\n的中点，（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．20.如图，在四棱锥中，平面，，平分，E是PC的中点，，，（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成的角的正弦值.21.（理）如图,在矩形中,,点分别是所在边靠近的三等分点,是的中点,现沿着将矩形折成直二面角,分别连接形成如图所示的多面体.（1）证明:（2）求二面角的平面角的余弦值.小21.（文）如图，在直三棱柱中，⊥侧面，是上的中点，且，.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积是，求异面直线和所成角的大小.-8-\n22.已知圆与圆，点在圆上，点在圆上．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）直线上是否存在点，满足经过点由无数对相互垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.-8-\n平遥中学2022—2022学年度第一学期高二期中考试数学答案（文理科）一、选择题123456789101112DADBAACBDBAB二、填空题（每题5分，共20分）13.-214.10015.16.4三、简答题（17题10分，其余每题12分）17.解：（1）由，解得P（2，1），由于l与x+3y﹣1=0垂直，则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0；（2）由（1）知直线l过P（2，1），若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，由题意得=，解得：k=﹣1或k=﹣，故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．18.（1）取的中点为，连接在中，，同理在中，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又，平面，所以平面，所以，所以-8-\n（2）19.解：（1）由圆C与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0），可得圆心C在AB的中垂线上，即C在直线x=﹣2上，与x﹣2y+4=0联立，可得C（﹣2，1），半径r==，则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10，圆心到直线x﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；（2）设M（x，y），M为PQ的中点，且Q（2，1），可得P（2x﹣2，2y﹣1），由P在圆C上运动，将其坐标代入圆C的方程可得，（2x﹣2+2）2+（2y﹣1﹣1）2=10，即为x2+（y﹣1）2=．则线段PQ中点M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=．20.（1）证明：因为平面，平面，所以，由平分，可得，，又，故平面.（2）于F,连接PF,取PF中点H,连接BH,则EH平行CA,由平面可知，平面PBD,所以为直线BE与平面所成的角，由，，，可得，.21、理(1)证明:在多面体中,过点A作EH的垂线交EH于点O,连接OC.∵二面角A-EH-C为直二面角,∴AO⊥平面EHC.由对称性可知CO⊥EH,又AO∩CO=O.-8-\n∴EH⊥平面AOC,而平面AOC,∴EH⊥AC.(2)解:过点B在平面ABEH内作BP⊥AO垂足为P,过点P在平面AOC内作PQ⊥AC垂足为Q,连接BQ.∵△ABO是边长为3的等边三角形,∴点P为中点,.∵△AOC是直角边长为3的等腰直角三角形,∴.又∵CO⊥平面ABEH,∴CO⊥BP,BP⊥AO,AO∩CO=O,∴BP⊥平面AOC.∴BQP为二面角B-AC-O的平面角,在直角三角形BPQ中,∴.（文）（1）连接BE，∵BC=1，BB1=2，E是CC1上的中点△BCE，△B1C1E为等腰直角三角形，即，∴，即BE⊥B1E∵AB⊥面BB1C1C．B1E⊂面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE（2）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距离相等，由（1）得BE=B1E=∵AC∥A1C1，∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°．22、（Ⅰ）为两圆心连线与两圆交点时最小，此时（Ⅱ）设，斜率不存在时不符合题意，舍去；斜率存在时，则即，即-8-\n由题意可知，两弦长相等也就是和相等即可，故即，化简得：对任意恒成立，故，解得故存在点满足题意．-8-
