山西大学附中2022年高三第一学期12月月考数学试题（理科）考试时间：120分钟满分：150分【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、排列组合、参数方程、不等式选讲等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）【题文】1.设不等式的解集为，函数的定义域为，则A.B.C.D.【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】B解析：由得0≤x≤1，所以M=[0，1],由得-1＜x＜1，所以N=(-1，1),则，所以选B.【思路点拨】可先解不等式得M，求函数的定义域得N，再求交集即可.【题文】2.若复数满足，则的虚部位A.B.C.1D.【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】A解析：因为，所以虚部为，则选A.【思路点拨】可先由已知条件计算出复数z再判断其虚部，即可解答.【题文】3.命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是A.若不是偶数，则都不是偶数B.若不是偶数，则不都是偶数C.若都不是偶数，则不是偶数D.若不都是偶数，则不是偶数【知识点】命题及其关系A2【答案】【解析】B解析：由命题的逆否命题的含义可知选B.【思路点拨】写一个命题的逆否命题，可先写出其否命题，再对条件和结论同时否定即可.【题文】4.已知等差数列且，则数列的前13项和为A.24B.39C.52D.104【知识点】等差数列的性质D2【答案】【解析】C13解析：因为，所以，则，所以选C.【思路点拨】一般遇到等差数列时，可先观察项的项数是否有性质特征，有性质特征的可用性质转化求解.【题文】5.若抛物线的焦点坐标是（0,1），则A.1B.C.2D.【知识点】抛物线的性质H7【答案】【解析】D解析：因为抛物线方程为，所以其焦点坐标为，则有，所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是抛物线的性质，由抛物线的方程求其焦点坐标时应先把方程化成标准方程再进行求值.【题文】6.已知函数在处取得最大值，则函数是A.偶函数且它的图像关于点对称B.偶函数且它的图像关于点对称C.奇函数且它的图像关于点对称D.奇函数且它的图像关于点对称【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】【解析】B解析：因为函数在处取得最大值，所以，b=-a，所以(a＞0)，则，所以为偶函数，且它的图像关于点对称，则选B.【思路点拨】可先结合最大值点得出a,b关系，再把函数f(x)化成一个角的三角函数进行解答判断即可.【题文】7.执行如图所示的程序框图，若，取，则输出的值为A.B.C.D.13【知识点】程序框图二分法求方程近似解B9L1【答案】【解析】A解析：因为,第一次执行循环体时，，,；第二次执行循环体，；第三次执行循环体，第四次执行循环体，所以输出，则选A.【思路点拨】遇到循环结构的程序框图时，可依次执行循环体，直到跳出循环再进行判断即可.【题文】8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是【知识点】三视图G2【答案】【解析】D解析：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥；13A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥；设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥；B与D中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥，综上可知选D.【思路点拨】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据AC可判断B正确，D错误.【题文】9.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.B.C.D.【知识点】球的截面性质G8【答案】【解析】A解析：因为,所以三角形ABC外接圆圆心在AC中点处，半径为15，设球半径为R，由球的截面性质得,得,所以该球的表面积为,则选A.【思路点拨】一般遇到球的截面问题时，通常利用球的截面性质寻求截面与球半径的关系进行解答.【题文】10.已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数的图像上，那么实数的取值范围为A.B.C.D.【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B解析：由题意作出其平面区域及函数y=ex的图象，结合函数图象知，当x=1时，y=ex=e；故实数a的取值范围为[e，+∞），所以选B.13.【思路点拨】可先作出指数函数的图象，再由不等式表示的平面区域数形结合得出实数a满足的条件即可.【题文】11.已知函数，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是A.B.C.D.【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】A解析：由得，令，由得，得函数t(x)在上单调递增，在上单调递减，又，所以若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是，则选A.【思路点拨】一般遇到方程的解的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论.【题文】12.已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是A.B.C.D.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案】【解析】D解析：136个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称。不妨设P在第一象限，，当时，，即2c＞2a－2c，解得，又因为e＜1，所以；当时，，即2a－2c＞2c且2c＞a－c，解得，综上可得或，故选D.【思路点拨】可结合椭圆的对称性判断只需在第一象限存在点P使三角形为等腰三角形，再利用椭圆的定义及在第一象限点P到两焦点距离的大小关系进行解答.【题文】二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）【题文】13.已知向量，如果向量与垂直，则的值为【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】解析：由题可知（）=0即解得所以，=.【思路点拨】可应由向量垂直计算出λ的值，再由向量的求模公式求得所求向量的模.【题文】14.有5种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有种.【知识点】基本计数原理J1【答案】【解析】1020解析：在五个侧面上顺时针或逆时针编号．分1号面、3号面同色和1号面、3号面不同色两种情况：1、3同色，1和3有5种选择，2、4各有4种、5有3种，共有5x4x4x3=240种；1、3不同色，1有5种选择，2有4种，3有3种，再分4与1同，则5有4种，4不与1同，4有3种，5有3种，共有5x4x3x（4+3x3）=780种；根据分类加法原理得共有240+780=1020种．【思路点拨】可在五个侧面上顺时针或逆时针编号，分1号面、3号面同色和1号面、3号面不同色两种情况：当1、3同色，1和3有5种选择，2、4各有4种、5有3种，当1、3不同色，1有5种选择，2有4种，3有3种，再分4与1同，则5有4种，4不与1同，4有3种，5有3种，最后根据分类加法得结果.【题文】15.圆关于直线对称，则的取值范围是【知识点】直线与圆的位置关系函数的值域H4B3【答案】【解析】解析：因为圆关于直线对称，则说明直线过圆心，则有-2a-2b+2=0,a+b=1,那么13利用二次函数的值域可知它的取值范围是.【思路点拨】可先结合圆的特征确定圆心位置，再转化为二次函数求值域问题进行解答.【题文】16.函数，则此函数的所有零点之和等于【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】8解析：由和图像如图，交点的横坐标是零点的值，由图像可知，那些零点关于x=1对称，所以所有零点的值为8.【思路点拨】一般遇到判断函数的零点个数问题，若直接判断不方便时，可转化为两个函数的图象交点个数问题进行判断，本题抓住两个函数图象都关于直线x=1对称是解题的关键.【题文】三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.）【题文】17.如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．(1)若的面积为，求的长；(2)若，求角的大小．【知识点】解三角形C8【答案】【解析】(1)；(2)解析：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝.13在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋2－2×2××＝.∴CD＝.∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cosA＝，所以A＝.【思路点拨】在求边与角时，可先分析所求的边与角所在的三角形，再由已知条件结合正弦定理或余弦定理进行求解.【题文】18.已知函数为偶函数，数列满足，且（1）设，证明：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和【知识点】等比数列数列求和D3D4【答案】【解析】（1）略；（2）解析：（1）证明：因为函数为偶函数，所以b=0,则，所以，又，所以数列为首项为2，公比为2的等比数列；（2）由(1)得，所以，令，两式相减得，所以，则.【思路点拨】证明等比数列时通常利用其定义直接证明，求数列的前n项和时，通常先确定数列的通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=(1)求证：平面ABC⊥平面APC(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值13(3)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值ABC【知识点】垂直关系空间角的求法G5G11【答案】【解析】(1)略；(2)；(3)解析：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),∴设平面PBC的法向量，由得方程组，取∴，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为；（3）由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为∵，又因为13，∴，取，∴，∴∴B点到AM的最小值为垂直距离.【思路点拨】证明线面垂直通常利用其判定定理进行证明，一般遇到空间角的问题，通常建立空间直角坐标系，利用空间向量进行转化解答.【题文】20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的两个顶点恰好是双曲线的焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两恻的动点，①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.【知识点】椭圆直线与椭圆位置关系H5H8【答案】【解析】（1）；（2）①；②直线的斜率是定值解析：(1）设椭圆的方程为，则.由，得∴椭圆C的方程为.（2）①解：设，直线的方程为，代入，得由，解得由韦达定理得.四边形的面积∴当，.②解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为13则的斜率为，的直线方程为由（1）代入（2）整理得同理的直线方程为，可得∴所以的斜率为定值.【思路点拨】求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答；一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答..【题文】21.已知函数的定义域，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为（1）已知函数，若且，求实数的取值范围（2）已知，且存在常数，使得对任意的，都有，求的最小值【知识点】导数的应用函数的单调性B3B12【答案】【解析】（1）h＜0；（2）0解析：（1）若且，即在上为增函数，所以h≤0；而在上不为增函数，因为，则h＜0,综上得h＜0；（2）先证明f(x)≤0对x∈成立，假设存在，使得，记，因为f（x）∈A2，所以f（x）为“二阶比增函数”，即是增函数，13所以当x＞x0＞0时，=m，即f（x）＞mx2；所以一定存在x1＞x0＞0，使得f（x1）＞m＞k成立，这与f（x）＜k对任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，所以f（x）≤0对任意的、x∈（0，+∞）都成立；再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，假设存在x2＞0，使得f（x2）=0；∵f（x）为“二阶比增函数”，即是增函数，∴一定存在x3＞x2＞0，使得=0成立，这与上述的证明结果矛盾．所以f（x）=0在（0，+∞）上无解，综上所述，当f（x）∈A2时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，所以当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；故k的最小值为0.【思路点拨】(1)根据“一阶比增函数”及“二阶比增函数”的定义求出参数满足的条件，再求交集；（2）利用反证法先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，从而可是当f（x）∈A2时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，故当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；从而求最小值.请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）【题文】22.己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1（1）求；（2）若直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，求的值【知识点】参数方程N3【答案】【解析】（1）－1或3；（2）解析：（1）M(0，m),直线l的一般方程M到直线的距离为，解得或；(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故．将直线l的一个标准参数方程为代入抛物线得，故,=【思路点拨】由参数方程解决问题不方便时可化成普通方程，遇到直线上的点到直线经过的顶点的距离问题时注意直线的参数的几何意义的运用.【题文】23.设，其中（1）当时，求不等式的解集13（1）若时，恒有，求的取值范围【知识点】不等式选讲N4【答案】【解析】(1)；(2)a≥2解析：(1)当a=2时，由不等式得，得，解得或x＜2，所以不等式的解集为；(2)因为，显然函数在R上单调递增，所以当时，，若时，恒有，则a－2≥0，得a≥2.【思路点拨】一般遇到含绝对值函数通常转化为分段函数进行解答，遇到不等式恒成立问题通常转化为函数的最值问题进行解答.13
