山西大学附中2022—2022学年高三第二学期5月下数学试题（理科）【试卷综析】侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，类比，推广，特殊化等都有涉及，注重通性通法，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度.考试时间：120分钟满分:150分一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．已知集合，集合，集合．则集合可表示为A．B．C．D．【知识点】集合的概念；交集.【答案解析】C解析：解:A集合中包含的只有整数为0，1，2，4，而B集合中的整数为1，2，3，4，所以为只有1，2，4的集合，所以C正确.【思路点拨】按集合的定义与交集的含义可以知C集合的元素.2．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A．B．C．D．【知识点】复数的模；复数的运算；共轭复数.【答案解析】A解析：解:的共轭复数为【思路点拨】先可以求出模长，再求出最后，找出共轭复数.3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是A．B．C．D．【知识点】线面垂直的判定与性质；面面垂直和平行的性质与判定；逻辑关系.【答案解析】D解析：解：因为所以是的充分条件.【思路点拨】线面垂直的判定与性质；面面垂直的性质与判定找出正确的推理过程.4．阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填人的条件是A．B．C．D．【知识点】程序框图；算法.【答案解析】A解析：解：根据算法的运算，第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后这时要输出所以应填【思路点拨】按算法的关系可依次计算出各次的值.5．A．B．C．D．【知识点】导数的原函数；微积分的计算.-11-【答案解析】B解析：解：它的原函数可以为，=【思路点拨】先求出函数的原函数，再利用积分计算.O5101520重量0.060.16．右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A．11B．11.5C．12D．12.5【知识点】直方图与特征数的关系；中位数的求法.【答案解析】C解析：解：根据中位数左右两侧的面积相等，也就是概率相等所以中位数为12,第一块的面积为，第二块的面积为0.5所以第三块的面积为0.2，所以中位数为12时左右的面积相等.【思路点拨】根据中位数左右两侧的面积相等，也就是概率相等所以中位数为127．的展开式中，项的系数为A．126B．420C．630D．1260【知识点】二项式定理；二项式项的系数.【答案解析】D解析：解：,展开式中含中展开式的项为的系数为.【思路点拨】可根据各字母的次数找到展开式中的对应项，然后求它的系数.8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A．B．C．D．【知识点】三视图；锥体的体积公式.【答案解析】D解析：解：根据三视图可知几何体为锥体，底面扇形圆心角为，所以底面积为，锥体的高为4，所以体积为.【思路点拨】根据题意求扇形的面积，求出锥体的高，代入体积公式即可.9．过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为A．B．C．D．【知识点】直线与抛物线；三角形的面积公式.【答案解析】C解析：解：AB的直线方程为，与联立可得一根为所以B点的坐标为，【思路点拨】可将分解成两个三角形的和，分别求出A，B点的坐标，代入即可.-11-10．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为A．B．C．D．【知识点】图像的平移.【答案解析】B解析：解：可以把的图像横坐标缩短为原来的，然后向右平移个单位，【思路点拨】本题可以按原来平移的过程向回平移相同的单位得到.11．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：oXXXXxxyxyxyxy则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A．①④③②B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①【知识点】函数的性质；函数的图像；函数的奇偶性.【答案解析】B解析：解：由①可知函数为偶函数，所以图像为第一个，由③可知时，时所以图像为最后一个，所以顺序为B选项的顺序.【思路点拨】可以按特殊值的问题来处理，只要找出几个选项的区别就可出找出正确选项.12．定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A．B．C．D．【知识点】函数的增减性与导数；导数的运算.【答案解析】A解析：解：因为设则所以为增函数，又因为所以的解集为.【思路点拨】可以把不等式转化成函数求定义域问题，利用导数判断函数的增减性进而可求出定义域即不等式的解集.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，，且，若变量满足约束条件，则的最大值为．【知识点】向量的数量积；线性规划.-11-【答案解析】3解析：解：因为所以由可行域可知函数在点有最大值3.【思路点拨】先依据向量的运算求出目标函数Z，再按线性规划求出最大值.14．正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．【知识点】几何体的作图；球的半径与截面圆的半径之间的关系.【答案解析】解析：解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为可得外接球半径R满足2R＝解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=得到截面圆的面积最小值为S==4π．故答案为：4π【思路点拨】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=过E点的截面到球心的最大距离为再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值【典型总结】求解几何体的问题，一般能恢复成规则几何体的可以恢复到规则几何体中去求解.15．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为．【知识点】列举法；概率的定义.【答案解析】解析：解：从8张卡片中取出4张卡片的基本事件有从两组1234中取4个数之和为10的情况有1234，1144，2233．取出的卡片数字为1、2、3、4时；每个数字都有两种不同的取法，则有=16种；取出的卡片数字为1、1、4、4时，只有1中取法；取出的卡片数字为2、2、3、3时，只有1中取法；-11-这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的基本事件共18个，∴从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为故答案为：【思路点拨】先不考虑颜色，只选数字，可得出取4个数之和为10的情况有1234，1144，2233，再考虑每种情况下不同颜色的选择方案有哪些，利用古典概型概率个数计算即可．16．设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________________．【知识点】向量的运算；向量的模长；二次函数的最大值最小值.【答案解析】解析：解：设O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心如图所示，延长AO交外接圆于D．AD是⊙O的直径，∴∠ACD=∠ABD=90°，==令所以当时，有最小值所以所以的范围是【思路点拨】设O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心如图所示，延长AO交外接圆于D．AD是⊙O的直径，∴∠ACD=∠ABD=90°，==利用二次函数求值域即可.三、解答题：17．（本小题满分12分）已知数列中，且（且）．（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．【知识点】等差数列；错位相减法.【答案解析】(I)略(II)-11-解析：解：（Ⅰ）∵且（且）．∴设，则：， 由上可知，数列为首项是、公差是1的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即：．∴．即．令，①则．②②－①，得．∴．【思路点拨】根据递推关系式可以导出等差的通项形式，列出通项公式，依据数列的特点选择特殊数列求和的方法.【典型剖解】数列问题求通项一般都向定义方向去转化，从而找出成特殊关系的数列，进而求解.18．（本小题满分12分）公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2022年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表：参考人数通过科目一人数通过科目二人数通过科目三人数201242请你根据表中的数据：（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X的数学期望．【知识点】概率的定义；条件概率；分布列与数学期望.【答案解析】(I)10人(II)(III)90解析：解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为，估计这100名新学员中有100×=10人；-11-（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，则P=P(B|A)=（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，则Y的分布列为EY=0×+1×+2×+3×=而X=100Y，所以EX=100EY=100×=90【思路点拨】(I)根据概率的定义求出人数；(II)利用条件概率求出值(III)列出分布列，利用两个随机变量的关系求出数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，分别为的中点，（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BEF；（Ⅱ）设，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求的取值范围．【知识点】线面垂直、面面垂直的判定定理；二面角.【答案解析】(I)略(II)解析：解：(Ⅰ)，分别为的中点，为矩形，·················2分,又面,面,平面⊥平面(Ⅱ),又，又,所以面,建系为轴，为轴，为轴,则，,平面法向量，平面法向量·，可得.【思路点拨】依据题意找出面面垂直的条件证明两个面相互垂直，建立空间坐标系，利用法向量求出夹角.20．（本小题满分12分）-11-已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系；向量的计算.【答案解析】(I)(II)存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为解析：解：（I）由，抛物线与直线相切，…2分抛物线的方程为：，其准线方程为：，离心率，，故椭圆的标准方程为……4分（II）设，，则当点在椭圆上运动时，动点的运动轨迹的轨迹方程为：………………………………………………………6分由得设分别为直线，的斜率，由题设条件知因此…………………………………………8分因为点在椭圆上，所以，故-11-所以，从而可知：点是椭圆上的点，存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为．【思路点拨】根据题意联立方程求出几何量，列出方程，利用向量的运算建立斜率之间的关系.21．（本题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）。（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数，存在，使得成立成立，求实数的取值范围．【知识点】复合函数的导数；导数与函数的单调性.【答案解析】(I)在上单调递增，在上单调递减.,(II).解析：解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，∴当时，，当时，。∴在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）假设存在，使得成立，则.∵∴………………………6分①当时，，在上单调递减，∴，即②当时，，在上单调递增，∴，即③当时，在，，在上单调递减在，，在上单调递增所以，即——由（Ⅰ）知，在上单调递减故，而，所以不等式无解综上所述，存在,使得命题成立【思路点拨】根据导数与函数的单调性可判断函数的单调区间；请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程．-11-已知直线为参数),曲线（为参数）.（Ⅰ）设与相交于两点,求；（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值．【知识点】参数方程；点到直线的距离公式.【答案解析】（I）.(II)解析：解：（Ⅰ）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.（Ⅱ）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【思路点拨】把直线和圆的参数方程化为一般方程，求出点后可求距离；利用点到直线的距离公式与三角函数的有界性可求出最小值.23．（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲设函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式在上无解，求实数的取值范围．【知识点】绝对值不等式；零点分段法去绝对值.【答案解析】(I)(II)或解析：解：（Ⅰ），所以原不等式转化为所以原不等式的解集为（Ⅱ）只要，-11-由（Ⅰ）知解得或【思路点拨】利用零点分段法去绝对值，然后解不等式，求出函数在相应定义域内的最大值，可得t的范围.-11-
