山西山大附中高一数学上学期10月月考试卷含解析

2022-2022学年山西山大附中高一（上）10月月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁UA=()A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}2．如果A={x|x＞﹣1}，那么()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A3．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B=()A．{0，1}B．{（0，0），（1，1）}C．{1}D．{（1，1）}4．在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为()A．（﹣3，1）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）5．已知全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=()A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|x≥1}D．{x|x≤2}6．下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是()A．B．C．D．7．已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于()A．A∩BB．A∪BC．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）8．已知f（x）=，则f（﹣3）为()A．2B．3C．4D．59．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中的子集个数为()A．2B．4C．8D．16-12-\n10．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是()A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）11．下面给出四个论断：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；④集合是有限集．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．312．已知f（x）=，则不等式xf（x）+x≤2的解集为()A．[0，1]B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．已知函数的定义域为__________．14．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，（∁UA）∩B={1，3，4}，（∁UA）∩（∁UB）={5，7}，A∩B={2}，则集合A=__________．15．设全集U={2，3，a2+2a﹣3}，A={|2a﹣1|，2}，∁UA={5}，则a=__________．16．函数f（x）=的定义域为[﹣2，1]，则a的值为__________．三．解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明）17．已知函数f（x）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的定义域和值域．18．解下列不等式：-12-\n（1）（2）|x﹣1|+|2x﹣1|＜3．19．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，，U=R，求A∩B，A∪B，A∩（CUB）．20．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣2x+a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B=R，求实数a的取值范围．21．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，（Ⅰ）若B={2}，求实数a的值；（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的取值范围．-12-\n2022-2022学年山西山大附中高一（上）10月月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁UA=()A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}【考点】补集及其运算．【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成CUA．故选D．【点评】集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．如果A={x|x＞﹣1}，那么()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】探究型．【分析】利用元素和集合A的关系，以及集合Φ，{0}中元素与集合A的元素关系进行判断．【解答】解：A.0为元素，而A={x|x＞﹣1}，为集合，元素与集合应为属于关系，∴A错误．B．{0}为集合，集合和集合之间应是包含关系，∴B错误．C．∅为集合，集合和集合之间应是包含关系，∴C错误．D．{0}为集合，且0∈A，∴{0}⊆A成立．故选D．【点评】本题考查了元素和集合以及集合与集合之间的关系．元素与集合之间应使用“∈，∉”，而集合和集合之间应使用包含号．3．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B=()A．{0，1}B．{（0，0），（1，1）}C．{1}D．{（1，1）}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A与B的交集．【解答】解：联立A与B中的方程得：，消去y得：x2=x，即x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入得：y=0；把x=1代入得：y=1，∴方程组的解为，，则A∩B={（0，0），（1，1）}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．-12-\n4．在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为()A．（﹣3，1）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）【考点】映射．【专题】计算题．【分析】根据已知中映射f：A→B的对应法则，f：（x，y）→（x﹣y，x+y），将A中元素（﹣1，2）代入对应法则，即可得到答案．【解答】解：由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）即（﹣3，1）故选A【点评】本题考查的知识点是映射的概念，属基础题型，熟练掌握映射的定义，是解答本题的关键．5．已知全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=()A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|x≥1}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出A与B的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x＜1或x≥2}，则∁U（A∪B）={x|1≤x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是()A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：A．图象中存在，一个x有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性，不是函数图象．B．图象中存在，一个x有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性，不是函数图象．C．图象中存在，一个x有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性，不是函数图象．-12-\nD．图象中满足函数对应的唯一性，是函数图象．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的判断，利用函数的定义是解决本题的关键．7．已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于()A．A∩BB．A∪BC．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=CU（A∪B）．故选D．【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．8．已知f（x）=，则f（﹣3）为()A．2B．3C．4D．5【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中f（x）=，将x=﹣3代入递推可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=f（﹣1）=f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值，难度不大，属于基础题．9．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中的子集个数为()A．2B．4C．8D．16【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集，找出交集的子集个数即可．【解答】解：∵A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，-12-\n∴A∩B={8，14}，则集合A∩B中的子集个数为22=4，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是()A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．11．下面给出四个论断：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有两个元素；④集合是有限集．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【专题】计算题；集合．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：：①{0}中有元素0，不是空集，不正确；②若a∈N，则﹣a∉N，不正确；③集合A={x∈R|x2﹣2x+1=0}有1个元素1，不正确；④集合是无限集，不正确．故选：A．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查了自然数集的表示及集合中元素的性质，集合中元素性质：无序性、确定性、互异性．12．已知f（x）=，则不等式xf（x）+x≤2的解集为()A．[0，1]B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】分类讨论，分x≥0、x＜0时解答，最后求并集即可．【解答】解：x≥0时，f（x）=1，不等式xf（x）+x≤2可化为2x≤2解得x≤1，∴0≤x≤1；当x＜0时，f（x）=0，不等式xf（x）+x≤2可化为x≤2，-12-\n∴x＜0．综上可得x≤1．故选：D【点评】本题考查分类讨论法解不等式，属基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．已知函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠0}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则x≥﹣2且x≠0，故函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠0}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠0}【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．14．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，（∁UA）∩B={1，3，4}，（∁UA）∩（∁UB）={5，7}，A∩B={2}，则集合A={2，6，8}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】根据集合之间的基本运算关系，求出集合B，即可求出∁UA与A．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，（∁UA）∩B={1，3，4}，∴{1，3，4}⊆B，且{1，3，4}⊆（∁UA）；∵（∁UA）∩（∁UB）={5，7}，∴{5，7}⊆∁UA，且{5，7}⊆∁UB；又A∩B={2}，∴{2}⊆A，且{2}⊆B；∴B={1，2，3，4}；∴∁UA={1，3，4，5，7}；∴A={2，6，8}．故答案为：{2，6，8}．【点评】本题考查了交集、并集、补集的概念与运算问题，是基础题目．15．设全集U={2，3，a2+2a﹣3}，A={|2a﹣1|，2}，∁UA={5}，则a=2．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题．【分析】由题意得5在全集中，故a2+2a﹣3=5，|2a﹣1|在全集中，且不是2和5，故|2a﹣1|=3．【解答】解：由题意得|2a﹣1|=3，且a2+2a﹣3=5，解得a=2，故答案为2．-12-\n【点评】本题考查交集、补集、并集的定义和运算，一元二次方程的解法．16．函数f（x）=的定义域为[﹣2，1]，则a的值为2．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的定义知（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是[﹣2，1]，结合一元二次方程根与系数的关系，求出a的值．【解答】解：由二次根式的定义，得（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是[﹣2，1]，∴（1﹣a2）＜0，且﹣2和1是方程（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6=0的2个根；∴﹣2+1=①，﹣2×1=②；解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应注意转化思想，把求函数的定义域转化为一元二次不等式的解集问题，是基础题．三．解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明）17．已知函数f（x）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）使用待定系数法解出；（2）根据图象最左边到最右边的横坐标范围及定义域，最下边到最上边的纵坐标即为值域，去除取不到的点即可．【解答】解：（1）当﹣1≤x＜0时，设f（x）=ax+b，则，解得a=1，b=1，∴f（x）=x+1；当0≤x≤1时，设f（x）=kx，则k=﹣1，∴f（x）=﹣x，-12-\n∴f（x）的解析式为f（x）=（2）定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣1，1）【点评】本题考查了分段函数的解析式与图象，确定x在各段上的取值范围是关键，属于基础题．18．解下列不等式：（1）（2）|x﹣1|+|2x﹣1|＜3．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分别分类讨论，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1），∴或，∴x≥2，或﹣2≤x＜2，∴原不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥2}；（2）当x≥1时，x﹣1+2x﹣1＜3，解得x＜，即1≤x＜，当≤x＜1时，1﹣x+2x﹣1＜3，解得x＜3，即≤x＜1，当x＜时，1﹣x+1﹣2x＜3，解得x＞﹣，即﹣＜x，综上所述，不等式的解集为．【点评】本题考查了不等式的解法，关键是分类讨论，属于基础题．19．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，，U=R，求A∩B，A∪B，A∩（CUB）．【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】综合题；集合思想；定义法；不等式的解法及应用；集合．【分析】找出两集合中解集的公共部分，求出两集合的交集；找出既属于A又属于B的部分，求出两集合的并集；找出全集中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3），-12-\n∵≤0，∴x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）≤0，且x=1，x=2，利用穿根法，如图所示，∴0≤x＜1，2＜x≤4，∴B=[0，1）∪（2，4]，∴CUB=（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），∴A∩B=[0，1）∪（2，3），A∪B=（﹣1，4]，A∩（CUB）=（﹣1，0）∪[1，2]．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．20．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣2x+a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B=R，求实数a的取值范围．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】求解一元二次不等式得到A，利用配方法求函数的值域得到B，然后根据A∪B=R得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣8≥0，得x≤﹣2或x≥4，∴A=（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），∵x∈[0，4]，∴g（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1的最小值为a﹣1，最大值为a+8．∴B=[a﹣1，a+8]，由A∪B=R，∴，解得﹣4≤a≤﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣4，﹣1]．【点评】本题考查了函数的定义域及值域的求法，考查了并集及其运算，是基础题．21．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，（Ⅰ）若B={2}，求实数a的值；-12-\n（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】函数的零点；并集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．可得A={1，2}．（Ⅰ）由B={2}，可得，解得即可．（Ⅱ）由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，则△=0，解得即可．若B={1，2}，可得，此方程组无解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．∴A={1，2}．（Ⅰ）∵B={2}，∴解得a=﹣3．（Ⅱ）∵A∪B=A，∴B⊆A．1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜﹣3．2°若B={1}或{2}，则△=0，解得a=﹣3，此时B={2}，符合题意．3°若B={1，2}，∴，此方程组无解．综上：a≤﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．-12-