康杰中学2022—2022学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题2022.11一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.直线的斜率是A.B.C.D.2.在空间直角坐标系中,点与点的距离是A.B.C.D.3.设是两条直线，是两个平面，给出四个命题①②③ ④其中真命题的个数为A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示,它的体积为A.B.C.D.5.直线上的点与原点的距离的最小值是A.2B.C.D.6.点关于直线的对称点的坐标是A.B.C.D.7.点是正方形所在平面外的一点，⊥平面，，则与所成角的大小为A．30°B．45°C．60°D．90°8\n8.已知三棱柱中,平面,并且,那么直线与侧面所成角的正弦值等于A.B.C.D.9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上,若，,,平面，，则球的半径为A．B．C．D．10.在平面直角坐标系中,已知,如果直线与线段总是相交,那么实数的取值范围是A.B.C.D.11.在平面直角坐标系中,直线与轴正半轴以及轴正半轴的交点分别是，那么面积的最小值是A.B.C.D.12.在三棱柱中,平面,且,,为中点,则点在线段上运动时,可能出现A.平面B.平面C.平面D.平面二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若直线与直线垂直，则.14.长方体中，,,则点到平面的距离等于.15.已知的三个顶点的坐标分别是,则的内角的平分线所在的直线方程是.16.在边长为2的正方形中,分别是的中点,沿以及把和都向上折起,使三点重合,设重合后的点为,那么对于四面体中的下列命题:8\n①点在平面上的射影是的垂心；②四面体的外接球的表面积是.③在线段上存在一点,使得直线与直线所成的角是；其中正确命题的序号是.二、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算过程）17.（本小题满分10分，（I）小问5分，（II）小问5分.）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD.（I）求证：EF∥平面PAD；（II）求证：平面PAB⊥平面PCD.18.（本小题满分12分，（I）小问6分，（II）小问6分.）在平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别是.（I）如果是直角，求实数的值；（II）求过坐标原点，且与的高垂直的直线的方程.19.（本小题满分12分.）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和中点.求与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知一几何体如图所示，正方形和梯形所在平面互相垂直，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求该几何体的体积.8\n21.（本小题满分12分，（I）小问6分，（II）小问6分.）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点.（I）求证：平面；（II）若，试求二面角的余弦值.22.（本小题满分12分，（I）小问6分，（II）小问6分.）在平面直角坐标系中，的边所在的直线方程是，（I）如果一束光线从原点射出，经直线反射后，经过点，求反射后光线所在直线的方程；（II）如果在中，为直角，求面积的最小值.8\n2022-2022第一学期期中高二数学试题答案1-6DCBABC7-12CBCDAB13.14.15.16.①②③17.证明：（I）连接AC，则F是AC的中点，又E为PC的中点，∴在△CPA中，EF∥PA，又平面PAD，平面PAD∴EF∥平面PAD.5分（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又平面PAD，∴CD⊥PA.PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.又∵PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.10分18.解：（I）因为是直角，所以，即，解得，6分（II）因为直线与的高垂直，所以直线与直线平行，所以直线的斜率.又因为直线过原点，所以直线的方程为.12分8\n19.解：连接.，是菱形，∴.以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.则，，，.3分∴，，.5分设平面PAB的一个法向量为.则，即，取，得.9分设直线与平面所成角为，∴.∴PC平面PAB所成角的正弦值为.12分注:用等体积法,酌情给分.20.（Ⅰ）证明：为正方形，∴，∴平面.，∴平面.又,∴平面平面.又平面,∴平面.6分（Ⅱ）解：连接，.平面平面，，，∴，.，，，∴.8\n与正方形，∴，∴.∴该几何体的体积为.12分21．（I）证明：，侧面底面，侧面底面，∴侧面，∴3分侧面是正三角形，为的中点，∴，又，平面.6分（II）解：设为中点，为中点，则因为是正三角形，底面是矩形.所以，，又因为侧面底面，所以面，面，以为坐标原点，所在直线分别为，建立空间直角坐标系。设，则有.7分，，8分设平面的法向量为，则，即，取，得.9分设平面的法向量为，则，即，取，得.10分所以.所以二面角的余弦值是.12分8\n22.解：（I）设点关于直线的对称点为，由题意应有，解得，所以点.因为反射后光线经过点和点，所以反射后光线所在直线的方程为.6分（II）设为的一条高，则，设，可得，所以的面积，当且仅当时，等号成立.所以，面积的最小值是.12分8
