2022—2022学年第一学期期中考试高三理科数学试题注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟，满分150分．2．把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．3．第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．第Ⅰ卷选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集，，则（）A．B．C．D．2、若为实数，且，则a=()A．一4B．一3C．3D．43、下列命题中正确的个数是（）①若是的必要而不充分条件,则是的充分而不必要条件；②命题“对任意,都有”的否定为“存在,使得”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；④命题“若x2—4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x+3≠0”A.1个B.2个C.3个D.4个4、把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．5、已知函数，其中，则的展开式中的系数为（）10\nA.120B.C.60D.06、已知变量满足约束条件，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）7、若，，则的值为（）A．B．C．D．8、在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为（）A.B.C．D．9、如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝( )A．8B．10C．11D．1210、已知函数对定义域内的任意都有，且当时，其导数满足，若，则（）第Ⅱ卷非选择题（共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．10\n11、已知函数，则=.12、若存在，使不等式成立，则实数的最小值为．13、已知与的夹角为，若，且，则在方向上的正射影的数量为.14、已知向量==,若，则的最小值为.15、已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为.三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本题满分12分）已知，，，（）（1）求函数的值域；（2）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．17、（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。18、（本题满分12分）某旅游景点预计2022年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝(1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；10\n(2)试问2022年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？19、（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20、（本题满分13分）已知椭圆过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足.（I）求椭圆的标准方程；（II）若，试证明：直线过定点并求此定点.21、（本小题满分14分）已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数在其定义域内的单调性；（3）若函数的图象上存在一点，使得以为切点的切线将其图象分割为两部分，且分别位于切线的两侧（点P除外），则称为函数的“转点”，问函数是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由。10\n2022—2022学年第一学期期中考试答案DDCDABAADBC11、12、13、14、615、三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本题满分12分）已知，，，（）（1）求函数的值域；（2）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．解：……………………………2分，，，从而有，所以函数的值域为．……………………………4分（2）由得，又因为，所以，从而，即．……………………………6分因为，所以由正弦定理得，故或当时，，从而当时，，又，从而综上的值为1或2.……………………………10分（用余弦定理类似给分）。17、（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°10\n（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。(Ⅰ)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA＝PD＝DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又PB平面PBE，∴PB⊥AD；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝，PB＝，则PB2＝PE2＋BE2，∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；ABCDPE.zxy以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)，C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，则＝(1,0,)，＝(－1,,0)，由题意可设平面APD的一个法向量为m＝(0,1,0)；．．．．．．．．．．．．．．．．7分设平面PDC的一个法向量为n＝(x,y,z)，由得：令y＝1，则x＝，z＝－1，∴n＝(,1,－1)；则m·n＝1，∴cos<m,n>＝＝＝，．．．．．．．．．．．．．11分由题意知二面角A－PD－C的平面角为钝角，所以，二面角A－PD－C的余弦值为－．．．．．．．．12分18、（本题满分12分）某旅游景点预计2022年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝(1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2022年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，10\nf(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x个月旅游消费总额为g(x)＝即g(x)＝①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0，当5<x≤6时，g′(x)<0，∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(万元)．②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3040(万元)．综上，2022年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元．19、（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）由题意，，得，.…………3分，当时，，当时，，得，所以的通项公式为.………………7分（2），当为偶数时，10\n；………………10分当为奇数时，（法一）为偶数，（法二）所以，………………14分20、（本题满分13分）已知椭圆过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足.（I）求椭圆的标准方程；（II）若，试证明：直线过定点并求此定点.21、（本小题满分14分）已知函数。10\n（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数在其定义域内的单调性；（3）若函数的图象上存在一点，使得以为切点的切线将其图象分割为两部分，且分别位于切线的两侧（点P除外），则称为函数的“转点”，问函数是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由。【解析】（1）当时，，则，………………1分由此得点处切线的斜率，……………………………………………2分所以曲线在点处的切线方程为，即.…………3分（2）对求导，得……………………4分①当时，，在上递增，在上递减；……5分②当时，设， 因为，则i）当时，，所以，于是在上单调递增；……6分ii）当时，，方程的两根为，易知，则，所以在上单调递增，在上单调递减；………………7分综上所述：当时，在上递增，在上递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，10\n在上单调递减………………8分8.，设，则在点处的切线方程为.………9分令，则..…………………………………10分①当时，，有；，有.所以在上单调递增，在上单调递减，于是，故都在切线的同侧，此时不存在“转点”.……………………………………11分②当时，取，即.,所以在上单调递增.…………………………………………………………12分又，所以当时，；当时，.于是的图象在切线的两侧，所以为函数的一个“转点”.…13分综上所述：当时，存在是函数的一个“转点”；当时，不存在“转点”.…………………14分10
