2022-2022学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（ ）A．（0，3]B．[﹣4，3]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（ ）A．15B．30C．31D．643．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）A．ca＞cbB．C．bac＞abcD．logac＞logbc4．设函数f（x）=，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则实数a的值为（ ）A．﹣1或﹣B．﹣C．﹣D．1或﹣5．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．图象关于点（﹣，0）中心对称D．图象关于x=﹣轴对称6．两个非零向量，b满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣夹角为（ ）A．B．C．D．7．函数f（x）=的图象可能是（ ）A．B．10\nC．D．8．已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y的最小值为（ ）A．1B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=（ ）A．1或B．﹣1或﹣C．D．﹣10．设函数f（x）=3cosx，若存在f（x）的非零极值点x0满足x02+f（x0）＜4m，则实数m的取值范围为（ ）A．（1，3）B．（2﹣，2+）C．（3，+∞）D．（2+，+∞）11．已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y=﹣f（x）有四个零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（ ）A．2B．3C．4D．512．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（ ）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知=（1，﹣1），=（t，1），若（+）∥（﹣），则实数t= ．14．已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若+＞m恒成立，则实数m的取值范围是 ．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣m，则f（2107）= ．16．在△ABC中，•=2，其面积为，则sin2A+sin2B的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知=（sinx，cos2x），=（cosx，1），x∈R，设f（x）=•．10\n（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对一切正整数n都有++…+＜，求实数a的最小值．19．（12分）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y=﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）20．（12分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（1）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．21．（12分）已知a为实常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（a≠0）．（1）若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；（2）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m的最大值． 10\n2022-2022学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．D；2．A；3．D；4．B；5．C；6．D；7．A；8．D；9．D；10．A；11．C；12．C；二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.解：(1)-----------------------1分---------------3分令------------------4分得的单调递增区间为------------------6分（2）由,得------------------7分又----------------8分所以所以------------------9分------------------11分∴面积的最大值为. ------------------12分10\n18.解：（1）当时，满足，且∴，----------------------1分∴，∵，∴，------------------2分∴当时，是公差为的等差数列．-----------------3分∵，，构成等比数列，∴，，解得， ------------------4分又由已知，当时，，∴-----------------5分∵，∴是首项，公差的等差数列．∴数列的通项公式． ------------------6分（2）由（1）可得式-------------8分∴----------------10分解得 10\n的最小值为 ---------------12分19.解：（1）由题意：时，∴，又∵时，∴,可得,----------------2分∴ -----------------4分（2）由题意：------------5分当时，，，由得或由得所以在上是增函数，在上是减函数 ------------------7分因为所以时，的最大值为 ------------------9分当1时，------------------10分10\n当且仅当，即时取等号，∴时有最大值． ------------------11分∵，∴当时有最大值，即当销售价格为元的值，使店铺所获利润最大． -----------------12分20.解：（1），定义域为．------------------1分因为 ------------------3分因为在处取得极小值所以即解得 -----------------4分经检验时，在处取得极小值------------------5分（2）解法一:因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.------------------6分即有的解------------------7分即有的解------------------8分问题等价于------------------9分当且仅当取等号10\n------------------11分------------------12分解法二：因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.------------------6分即有的解------------------7分当时，明显成立.------------------8分②当时，开口向下的抛物线，总有的解；------------------9分③当时，开口向上的抛物线，只要方程有正根即可.因为，所以方程有两正根.，解得．------------------11分综合①②③知：．-------------12分21.解：（1）=．-----------------1分当时，＞0，函数在单调递增；------------3分当时，=，令，解得；令，解得．∴函数的单调递增区间为，单调递减为．--------5分10\n综上可得：当时，函数在单调递增；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．--------------6分（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点，------------------7分当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．此时为函数的最小值，令令，得，∴函数的单调递增区间为，且∴当时，-----------------9分令在上单调递减即当时，------------------10分由于----------------11分当时，函数有两个零点----------------12分22.解：（1）不等式等价于10\n或或-----------------3分解得------------------5分（2）解法一：--------------8分∵∴，的最大值为1----------------10分解法二：------------------8分∵∴，的最大值为1------------------10分10
