2022-2022学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M={0，1，2}，N={0，1，2，3}，则（CUM）∩N=()A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，3}C．{0，3}D．{3}2．设，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a3．下列说法正确的是()A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件4．函数的值域是()A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）5．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为()17\nA．B．C．D．7．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是()A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）8．已知tanα=﹣，则的值为()A．2B．﹣2C．3D．﹣39．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是()A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）17\n10．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为()A．B．C．6D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算.=__________．12．设（其中e为自然对数的底数），则的值为__________．13．不等式ln（﹣x）+x2﹣1＞0解集是__________．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=__________．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：x﹣10245f（x）12021①函数y=f（x）在x=2取到极小值；②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；④如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．其中所有正确命题是__________（写出正确命题的序号）．17\n三、解答题：本大题共6题，共75分.16．设不等式|x﹣|＞的解集为A，函数g（x）=的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p≤0．且α是β的充分不必要条件，求实数p的取值范围．17．记f（x）=ax2﹣bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（2t+8）＜f（2+22t）．18．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．19．已知f（x）=m+logax（a＞0，a≠1）的图象过点（8，2）、（1，﹣1）（1）求f（x）的解析式．（2）令g（x）=f（x2）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．20．（13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？21．（14分）已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2﹣tx﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．2022-2022学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）17\n一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M={0，1，2}，N={0，1，2，3}，则（CUM）∩N=()A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，3}C．{0，3}D．{3}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先求出CUM，再求（CUM）∩N．解答：解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M={0，1，2}，N={0，1，2，3}，所以CUM={﹣2，﹣1，3}，（CUM）∩N={3}故选D．点评：本题考查集合的简单、基本运算，属于基础题．2．设，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a考点：不等关系与不等式；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数，对数函数，幂函数的性质，确定a，b，c的取值范围即可判断大小．解答：解：，，，∴a＜0，0＜b＜1，c＞1，即c＞b＞a，故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质确定a，b，c的取值范围是解决本题的关键，比较基础．3．下列说法正确的是()A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：A，写出它的否命题，即可判定真假；B，写出命题p的否定￢p；17\nC，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；D，由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立，判定命题是否正确．解答：解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，命题p的否定￢p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；故选：C．点评：本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，也考查了一定的逻辑思维能力，是基础题．4．函数的值域是()A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）考点：函数的值域．专题：压轴题．分析：本题可以由4x的范围入手，逐步扩充出的范围．解答：解：∵4x＞0，∴．故选C．点评：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的值域为（0，+∞）．5．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．解答：解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．点评：本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．17\n6．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为()A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f（t））处的导数值，可得答案．解答：解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f'（x）=（xsinx）'+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选B．点评：本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系．属基础题．7．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是()A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）考点：利用导数研究函数的单调性．17\n专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．解答：解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，故选C点评：本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．8．已知tanα=﹣，则的值为()A．2B．﹣2C．3D．﹣3考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanα=﹣，∴原式====3．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是()A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．解答：解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选C．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．17\n10．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为()A．B．C．6D．5考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：画出不等式组表示的平面区域，求出直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．故选B．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．17\n11．计算.=．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．解答：解：∵====．故答案为：．点评：本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．12．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间（0，e2）拆为（0，1）、（1，e2）两个区间，然后进行计算；解答：解：∵，∴则=+=+=+=+2=，故答案为．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的内容，同学们要多加练习．13．不等式ln（﹣x）+x2﹣1＞0解集是（﹣∞，﹣1）．考点：指、对数不等式的解法．17\n专题：不等式的解法及应用．分析：把已知不等式变形，得到ln（﹣x）＞﹣x2+1，画出函数y=ln（﹣x）与y=﹣x2+1的图象，数形结合得答案．解答：解：由ln（﹣x）+x2﹣1＞0，得ln（﹣x）＞﹣x2+1，画出函数y=ln（﹣x）与y=﹣x2+1的图象如图，由图可知，不等式ln（﹣x）+x2﹣1＞0解集是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．点评：本题考查对数不等式的解法，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．17\n点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：x﹣10245f（x）12021①函数y=f（x）在x=2取到极小值；②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；④如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．其中所有正确命题是①③④（写出正确命题的序号）．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由导数图象可得当﹣1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，根据函数的单调性和极值，最值之间的关系进行判断．解答：解：由图象可知当﹣1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，所以当x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．所以①正确．②函数在[0，2]上单调递减，所以②错误．③因为x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，因为f（﹣1）=f（5）=1，所以由函数图象可知当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；正确．④因为函数在[﹣1，0]上单调递增，且函数的最大值为2，所以要使当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t≥0即可，所以t的最小值为0，所以④正确．故答案为：①③④．点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的推理能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．三、解答题：本大题共6题，共75分.16．设不等式|x﹣|＞的解集为A，函数g（x）=的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p≤0．且α是β的充分不必要条件，求实数p的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．17\n专题：简易逻辑．分析：先求出关于p，q的x的范围，设集合C={x|2x+p≤0}，求出x的范围，结合α是β的充分不必要条件，得到（A∩B）⊆C，解不等式组即可．解答：解：解不等式|x﹣|＞得：x＞2或x＜﹣1，∴集合A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∵函数g（x）=的定义域为集合B，∴﹣1≥0，解得：0＜x≤3，∴集合B=（0，3]，∴A∩B=（2，3]；设集合C={x|2x+p≤0}，则x∈（﹣∞，﹣]，∵α是β的充分不必要条件，∴（A∩B）⊆C，只需满足3≤﹣⇒p≤﹣6，∴实数p的范围是（﹣∞，﹣6]．点评：本题考查了充分条件的判断与集合的关系，训练了解不等式的能力，解题时要把握推理方向，准确运算．17．记f（x）=ax2﹣bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（2t+8）＜f（2+22t）．考点：一元二次不等式的解法．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：根据二次函数与对应不等式的关系，得出f（x）的单调性与单调区间，再利用f（x）的单调性把不等式f（2t+8）＜f（2+22t）转化为8+2t＞2+22t，求出该不等式的解集即可．解答：解：根据题意，得f（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0，所以二次函数f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，又因为8+2t＞8，2+22t≥2，所以，由二次函数的单调性得，不等式f（2t+8）＜f（2+22t）等价于8+2t＞2+22t，即22t﹣2t﹣6＜0，解得2t＜3，即t＜log23；所以该不等式的解集为{t|t＜log23}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是中档题目．17\n18．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；弦切互化；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数的关系，据角的范围求出角．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值．解答：解：（1），，∵∴25﹣24cosα=25﹣24sinα∴sinα=cosα又α∈（﹣π，0），∴α=．（2）∵∴即（3cosα﹣4）×3cosα+3sinα×（3sinα﹣4）=0解得所以1+2∴故==2sinαcosα=点评：本题考查向量坐标的求法、向量模的坐标公式、由三角函数值求角、三角函数中的二倍角公式、平方关系．19．已知f（x）=m+logax（a＞0，a≠1）的图象过点（8，2）、（1，﹣1）（1）求f（x）的解析式．（2）令g（x）=f（x2）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．17\n分析：（1）利用对数函数经过的特殊点，求出函数的解析式．（2）化简函数的解析式，构造新函数，利用基本不等式求解函数的最小值即可．解答：解：（1）f（x）=m+logax（a＞0，a≠1）的图象过点（8，2）、得2=m+loga8，…①f（x）=m+logax（a＞0，a≠1）的图象过点（1，﹣1），﹣1=m+loga1…②解得m=﹣1，a=2．∴f（x）=﹣1+log2x．（2）g（x）=﹣1+log2x2+1﹣log2（x﹣1）=log2，令h（x）==（x﹣1）++2≥2+2=4，所以当且仅当x﹣1=，即x=2时，g（x）min=log24=2．点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的单调性，函数的最值以及基本不等式求解最值的应用，难度中档．20．（13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：应用题．分析：（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．解答：解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，17\nf′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．点评：考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．21．（14分）已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2﹣tx﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题．分析：（I）根据切线方程与直线y=2x平行得到切线的斜率为2，即可得到f'（e）=2，求出函数的导函数把f'（e）=2代入即可求出a的值得到函数的解析式；（II）令f′（x）=0求出x的值为，由函数定义域x∈（0，+∞），所以在（0，）和（，+∞）上讨论函数的增减性，分两种情况：当属于[n，n+2]得到函数的最小值为f（）；当≤n≤n+2时，根据函数为单调增得到函数的最小值为f（n），求出值即可；（III）把g（x）的解析式代入不等式3f（x）≥g（x）中解出，然后令h（x）=，求出h′（x）=0时x的值，然后在定义域（0，+∞）上分区间讨论函数的增减性，求出h（x）的最大值，t要大于等于h（x）的最大值即为不等数恒成立，即可求出t的取值范围．解答：解：（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x﹣y=0平行，得该切线斜率为2，即f'（e）=2．又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，所以f（x）=xlnx．（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，显然f'（x）=0时x=e﹣1当时f'（x）＜0，所以函数上单调递减．当时f'（x）＞0，17\n所以函数f（x）在上单调递增，①时，；②时，函数f（x）在[n，n+2]上单调递增，因此f（x）min=f（n）=nlnn；所以；（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，又g（x）=x2﹣tx﹣2，∴3xlnx≥x2﹣tx﹣2，即．设，则，由h'（x）=0得x=1或x=2，∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）单调递减，x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）极大值=h（1）=﹣1，且h（e）=e﹣3﹣2e﹣1＜﹣1，所以h（x）max=h（1）=﹣1．因为对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，∴t≥h（x）max=﹣1．故实数t的取值范围为[﹣1，+∞）．点评：考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数求闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件．此题是一道综合题．17
