2022-2022学年山东省临沂四中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f（x）=的定义域为M，值域为N，则MU（CRN）=()A．x|x≥1}B．{x|x≤1}C．ΦD．{x|﹣1≤x＜x}2．下列函数中，在其定义域内为偶函数且有最小值的是()A．f（x）=2xB．f（x）=2|x|+x2C．f（x）=+x3D．f（x）=ex﹣e﹣x3．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为“若xy=0，则x≠0”C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题4．函数f（x）=cosx，x∈[0，2π]与直线y=1所围区域的面积为()A．B．C．πD．2π5．设a=（），b=（），c=logπ（），则()A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于()A．﹣16B．﹣8C．8D．167．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3D．a≤﹣38．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为()A．g（x）=2sin（+）﹣1B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1D．g（x）=2sin（﹣）﹣19．有下列命题：-18-\n①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是()A．1B．2C．3D．410．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．设sin（+θ）=，则sin2θ=__________．12．若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是__________．13．函数f（x）=x2﹣4xsin+1（x∈R）的零点的个数为__________．14．已知ex+ax﹣a＞0恒成立，则实数a的取值范围为__________．15．二次函数y=kx2（x＞0）的图象在点（an，an2）处的切线与x轴交点的横坐标为an+1，n为正整数，a1=，若数列{an}的前n项和为Sn，则S5=__________．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．-18-\n（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+12=2Sn+n+4，a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{cn}的前n项和Tn．19．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．20．（13分）已知a＞0，函数f（x）=ln（2﹣x）+ax．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．-18-\n2022-2022学年山东省临沂四中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f（x）=的定义域为M，值域为N，则MU（CRN）=()A．x|x≥1}B．{x|x≤1}C．ΦD．{x|﹣1≤x＜x}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出函数的定义域和值域，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：由1﹣log2（x+1）≥0得log2（x+1）≤1，即0＜x+1≤2，解得﹣1＜x≤1，即M=（﹣1，1]，∵1﹣log2（x+1）≥0，∴f（x）=≥0，即N=[0，+∞），则CRN=（﹣∞，0），则MU（CRN）=（﹣∞，1]，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键．2．下列函数中，在其定义域内为偶函数且有最小值的是()A．f（x）=2xB．f（x）=2|x|+x2C．f（x）=+x3D．f（x）=ex﹣e﹣x【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的定义分别判断各个选项即可．【解答】解：对于A：函数f（x）=2x是非奇非偶函数，不合题意，对于B：f（x）=2|x|+x2，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，且f（x）≥f（0），符合题意；对于C：f（x）是非奇非偶函数，不合题意；对于D：f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）是奇函数，不合题意；故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的最值问题，是一道基础题．3．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为“若xy=0，则x≠0”C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题【考点】四种命题．【专题】应用题；对应思想；分析法；简易逻辑．-18-\n【分析】根据四种命题的定义判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题表达格式的正误．判断一个命题的真假时，若命题简单可直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断．【解答】解：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”显然正确．所以A正确．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，所以B错；命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有2x2﹣1≥0”，所以C错；命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故其逆否命题也假，故D错；故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，四种命题的关系，基本知识的考查．4．函数f（x）=cosx，x∈[0，2π]与直线y=1所围区域的面积为()A．B．C．πD．2π【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据定积分的几何意义，即可求出面积．【解答】解：根据定积分的几何意义，函数f（x）=cosx，x∈[0，2π]与直线y=1所围区域的面积S=（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|=2π，故选：D．【点评】本小题主要考查定积分应用、三角函数的图象等基础知识，考查考查数形结合思想，属于基础题．5．设a=（），b=（），c=logπ（），则()A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合函数y=的单调性，函数y=的单调性，函数y=logπx的单调性，可得c＜b＜a．【解答】解：∵函数y=在（0，+∞）上为增函数，且，故（）＞（），即a＞b，又∵函数y=为减函数，，∴（），又∵函数y=logπx为增函数，∴logπ（）=logπe＜logππ=，故b＞c，-18-\n综上所述，c＜b＜a，故选：B【点评】本题考查的知识是指数函数的单调性，对数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数单调性的综合应用，难度中档．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于()A．﹣16B．﹣8C．8D．16【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【解答】解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故选D．【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．7．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】把充分性问题转化为结合关系，再利用不等式求解．【解答】解：∵条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，∴q⊊p，即a≤2且4﹣4a+a2﹣1≥0解不等式组可得：a≤1故选：B【点评】本题考察了函数、不等式、简易逻辑等问题，综合性较大．8．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为()A．g（x）=2sin（+）﹣1B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1D．g（x）=2sin（﹣）﹣1【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．-18-\n【分析】根据平移变换的法则﹣﹣“左加右减，上加下减”，我们先求出将函数y=2sin（+）的图象先向左平移个单位的图象对应的函数的解析式，再求出再向下平移1个单位后得到图象的解析式即可得到答案．【解答】解：函数y=2sin（+）的图象先向左平移个单位，可以得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin（+）的图象再向下平移1个单位后可以得到y=2sin（+）﹣1的图象故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移变换的法则﹣﹣“左加右减，上加下减”，是解答此类问题的关键．9．有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①，利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式可将化为y=cos2x，再利用余弦函数的性质可判断①；②，由函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，可判断②；③，利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，可判断“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要条件，可判断③；④，利用全称命题与特称命题之间的关系可判断④；⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°，分类讨论后可判断⑤．【解答】解：对于①，在函数=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x的图象中，其周期T=π，相邻两个对称中心的距离为=，故①错误；-18-\n对于②，函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，故②错误；对于③，因为“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，所以，其逆否命题“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故③错误；对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确；对于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则（3sinA+4cosB）2+（4sinB+3cosA）2=62+12=37，整理可得sin（A+B）=，所以C=30°或150°．当C=150°时，A+B=30°，3sinA+4cosB＜×3+4＜6，与已知矛盾，故C≠150°，故⑤错误．综上所述，正确命题为④．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的性质，考查充分必要条件、全称命题与特称命题的应用与解三角形，考查转化思想．10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；推理和证明．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0-18-\n∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】利用两角和的正弦公式可得+=，平方可得+sin2θ=，由此解得sin2θ的值．【解答】解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．12．若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是．【考点】函数的零点；函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，列出方程，求解即可．【解答】解：∵2f[g（x）]=g[f（x）]，∴2（1+lgx2）=（1+lgx）2，∴（lgx）2﹣2lgx﹣1=0，∴lgx=1±，x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数运算法则的应用，考查计算能力．13．函数f（x）=x2﹣4xsin+1（x∈R）的零点的个数为4．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】显然0不是函数f（x）=x2﹣4xsin+1的零点，故化为函数y=4sin与y=x+的图象的交点的个数；作函数图象求解即可．【解答】解：显然0不是函数f（x）=x2﹣4xsin+1的零点，-18-\n故f（x）=x2﹣4xsin+1=0可化为4sin==x+；故可化为函数y=4sin与y=x+的图象的交点的个数；作函数y=4sin与y=x+的图象如下，由图象可知，有4个交点；故答案为：4．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于基础题．14．已知ex+ax﹣a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（﹣e2，0]．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得ex＞﹣a（x﹣1），当x=1，x＞1，x＜1时，运用参数分离和导数，求得单调性，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：ex+ax﹣a＞0恒成立，即为ex＞﹣a（x﹣1），当x=1时，e＞0成立；当x＞1时，﹣a＜的最小值，由f（x）=的导数为f′（x）=，-18-\n当x=2时，f（x）取得最小值e2，即有﹣a＜e2，解得a＞﹣e2；当x＜1时，﹣a＞，由f（x）=的导数为f′（x）=＜0，f（x）递减，即有f（x）＜0，即有﹣a≥0，解得a≤0．则a的范围是（﹣e2，0]．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，运用导数判断单调性求得最值，考查运算能力，属于中档题．15．二次函数y=kx2（x＞0）的图象在点（an，an2）处的切线与x轴交点的横坐标为an+1，n为正整数，a1=，若数列{an}的前n项和为Sn，则S5=．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出k=1，函数y=x2（x＞0）的导数为y′=2x，由此利用导数的几何意义求出y=kx2在点（an，an2）处的切线方程，从而得到数列{an}是等比数列，公比q为，由此能求出S5．【解答】解：∵二次函数y=kx2（x＞0）的图象在点（an，an2）处的切线与x轴交点的横坐标为an+1，n为正整数，∴，解得k=1，∴函数y=x2（x＞0）的导数为y′=2x，则在点（an，an2）处的切线方程为：y﹣an2=2an（x﹣an），当y=0时，解得x=，∴an+1=an，即数列{an}是等比数列，公比q为，∵a1=，∴S5==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前5项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和等比数列性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数-18-\n（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．-18-\n【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a（1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+12=2Sn+n+4，a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由an+12=2Sn+n+4，当n≥2时，=2Sn﹣1+n+3，两式相减可得：=2an+1，由于数列{an}是各项均为正数的数列，可得an+1﹣an=1，a2﹣a1=1．又+5，联立解得a1．利用等差数列的通项公式可得an．再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）=（﹣1）n•n﹣．利用“裂项求和”可得数列的前n项和．对n分类讨论即可得出．-18-\n【解答】解：（I）∵an+12=2Sn+n+4，∴当n≥2时，=2Sn﹣1+n+3，两式相减可得：=2an+1，∴=，∵数列{an}是各项均为正数的数列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，∴a2﹣a1=1．又+5，联立解得a1=2．∴数列{an}是等差数列，首项为2，公差为1．∴an=2+（n﹣1）=n+1．∴a2﹣1=2，a3=4，a7=8，∴等比数列{bn}的公比q==2，首项为2．∴bn=2n．（II）=（﹣1）n•n﹣．数列的前n项和=+…+=．当n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k=（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+[﹣（2k﹣1）+2k]﹣=k﹣+=+．当n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=Tn+1﹣=+﹣=+﹣（n+1）．∴Tn=．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．19．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？-18-\n（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x，由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．20．（13分）已知a＞0，函数f（x）=ln（2﹣x）+ax．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】方程思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1；（Ⅱ）求出函数的导数，由a＞0，由导数大于0求得增区间，导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）对a讨论，当2﹣≤0，当0＜2﹣＜1，判断函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意有x＜2，f（x）的导数为f′（x）=a+，-18-\n在点（1，f（1））处的切线斜率为a﹣1，由已知可得，a﹣1=0，即a=1；（Ⅱ）f′（x）=a+=a[x﹣（2﹣）]•，当a＞0时，2﹣＜2，令f′（x）＞0，解得x＜2﹣，令f′（x）＜0，解得2﹣＜x＜2，所以f（x）的增区间为（﹣∞，2﹣），减区间是（2﹣，2）；（Ⅲ）当2﹣≤0，即0＜a≤时，f（x）在[0，1]上是减函数，所以f（x）的最小值为f（1）=a；当0＜2﹣＜1即＜a＜1时，f（x）在（0，2﹣）上是增函数，在（2﹣，1）是减函数，所以需要比较f（0）=ln2和f（1）=a两个值的大小，因为＜＜2＜e，所以＜ln＜ln2＜lne=1，∴当＜a＜ln2时最小值为a，当ln2≤a＜1时，最小值为ln2，当2﹣≥1，即a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数，所以最小值为ln2．综上，当0＜a＜ln2时，f（x）为最小值为a；当a≥ln2时，f（x）的最小值为ln2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数f（x）在与x轴的交点处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得a值，求出T（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；-18-\n（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，f（x）在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a，由f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，T（x）=xf（x）=x3﹣x2，T′（x）=3x2﹣2x，T′（x）＞0，可得x＞或x＜0，T′（x）＜0，可得0＜x＜，则有T（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，）；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤eu2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小，且为t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小，且为e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t＜时，y最小且为y|=﹣．（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），-18-\n∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符；③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得m∈（0，1）．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．-18-
