2022-2022学年山东省潍坊市临朐中学高二（上）期中数学模拟试卷 一、选择题（每小题5分，共50分）1．不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是（ ）A．{x|x≤﹣1或x≥}B．{x|﹣1≤x≤}C．{x|x≤﹣或x≥1}D．{x|﹣≤x≤1} 2．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 3．在△ABC中，若，，，则此三角形中最大内角是（ ）A．60°B．90°C．120°D．150° 4．已知x+3y﹣1=0，则关于2x+8y的说法正确的是（ ）A．有最大值8B．有最小值2C．有最小值8D．有最大值2 5．某厂的产值若每年平均比上一年增长10%，经过x年后，可以增长到原来的2倍，在求x时，所列的方程正确的是（ ）A．（1+10%）x﹣1=2B．（1+10%）x=2C．（1+10%）x+1=2D．x=（1+10%）2 6．若x＞1，则有（ ）A．最小值1B．最大值1C．最小值﹣1D．最大值﹣1 7．如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（ ）A．B．（﹣2，0）C．（﹣2，1）D．（0，1） 8．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）-19-\nA．a＜﹣7或a＞24B．a=7或a=24C．﹣7＜a＜24D．﹣24＜a＜7 9．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（ ）A．1B．C．D． 10．在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（ ）A．B．C．D．3 二、填空题（5×5=25分）11．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ． 12．已知数列{an}满足条件a1=﹣2，an+1=2+，则a5= ． 13．在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a= ． 14．函数y=的定义域是 （用区间表示）． 15．在数列{an}中，n∈N*，若=k（k为常数），则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；-19-\n④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，求证：﹣=c（﹣）． 17．设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列{an}的通项an． 18．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积． 19．（1）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值． 20．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（60≤x≤100）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 21．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{an}的通项公式；-19-\n（3）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＞对所有n∈N*都成立的最大正整数m． -19-\n2022-2022学年山东省潍坊市临朐中学高二（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共50分）1．不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是（ ）A．{x|x≤﹣1或x≥}B．{x|﹣1≤x≤}C．{x|x≤﹣或x≥1}D．{x|﹣≤x≤1}考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：把不等式的右边移项到左边，去括号合并化简，分解因式得到（2x+9）（x﹣1）小于0，分情况2x+9与x﹣1异号或都等于0讨论得到两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：因为不等式（x+5）（3﹣2x）≥6可化为2x2+7x﹣9≤0，分解因式得（2x+9）（x﹣1）≤0，可化为或，解得﹣≤x≤1，所以不等式（x+5）•（3﹣2x）≥6的解集是{x|﹣≤x≤1}．故选D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题． 2．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．解答：解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，-19-\n∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点． 3．在△ABC中，若，，，则此三角形中最大内角是（ ）A．60°B．90°C．120°D．150°考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：先通过三边的长判断出三角形中的最大角，进而利用余弦定理求得最大内角的余弦的值，进而求得最大角的值．解答：解：依题意可知c为最大边，故c边角C为最大内角，由余弦定理得cosC===﹣，∴C=120°，故选C．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．已知三边的长求三角形的内角一般是利用余弦定理． 4．已知x+3y﹣1=0，则关于2x+8y的说法正确的是（ ）A．有最大值8B．有最小值2C．有最小值8D．有最大值2考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由x+3y﹣1=0⇒x+3y=1，利用基本不等式即可求得2x+8y的最小值，从而可得答案．解答：解：∵x+3y﹣1=0，-19-\n∴x+3y=1，∴2x+8y=2x+23y≥2=2（当且仅当x=3y=时取“=”）．故选B．点评：本题考查基本不等式，将2x+8y转化为2x+23y是应用基本不等式的关键，属于中档题． 5．某厂的产值若每年平均比上一年增长10%，经过x年后，可以增长到原来的2倍，在求x时，所列的方程正确的是（ ）A．（1+10%）x﹣1=2B．（1+10%）x=2C．（1+10%）x+1=2D．x=（1+10%）2考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，产值的平均增长率为10%，设原来的产值为1，则经过x年，为2，得到关于x的等式．解答：解：由题意，产值的平均增长率为10%，设原来的产值为1，则经过x年，为2，得到关于x的等式，（1+10%）x=2；故选B．点评：本题考查了指数函数在生活中的应用，考查平均增长率问题的应用，属于基础题． 6．若x＞1，则有（ ）A．最小值1B．最大值1C．最小值﹣1D．最大值﹣1考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：若x＞1，则=+，利用基本不等式求得它的最小值为1，从而得出结论．-19-\n解答：解：若x＞1，则==+≥2=1，当且仅当=时，取等号．故有最小值为1，故选A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，函数的最值及其几何意义，属于中档题． 7．如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（ ）A．B．（﹣2，0）C．（﹣2，1）D．（0，1）考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，根据方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，可得f（1）＜0，从而可求实数m的取值范围．解答：解：构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，∵方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，∴f（1）＜0∴1+m﹣1+m2﹣2＜0∴m2+m﹣2＜0∴﹣2＜m＜1∴实数m的取值范围是（﹣2，1）故选C．点评：本题考查方程根的研究，考查函数思想的运用，解题的关键是构造函数，利用函数思想求解． 8．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣7或a＞24B．a=7或a=24C．﹣7＜a＜24D．﹣24＜a＜7考点：二元一次不等式的几何意义．-19-\n专题：不等式的解法及应用．分析：根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．解答：解：∵点（3，1）与B（﹣4，6），在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴两点对应式子3x﹣2y+a的符号相反，即（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＜0，即（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24，故选：C．点评：题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键． 9．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（ ）A．1B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式可得==，代入已知化简可得．解答：解：由题意可得=====故选C点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题． 10．在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（ ）-19-\nA．B．C．D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；数形结合．分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．解答：解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，其面积S△ABC=×（2×1+2×）=，故选C．-19-\n点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想． 二、填空题（5×5=25分）11．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： （a＞b＞0） ．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用糖水的浓度可得（a＞b＞0）即可．解答：解：由a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0）可得糖水的浓度为；在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为．∵糖水变甜了，于是可得＞；化为（a＞b＞0）．故答案为（a＞b＞0）．点评：本题考查了溶液的浓度，属于基础题． 12．已知数列{an}满足条件a1=﹣2，an+1=2+，则a5= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由an+1=2+，化为，分别取=1，2，3，4即可得出．解答：解：由an+1=2+，化为，-19-\n∵a1=﹣2，∴，∴=6，∴，∴a5==．故答案为．点评：本题考查了递推式的含义，属于中档题． 13．在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a= ﹣ ．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：先根据B和C求得A，进而根据正弦定理求得a．解答：解：A=180°﹣30°﹣135°=15°，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据正弦定理得=∴a==﹣故答案为﹣点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题． 14．函数y=的定义域是 （用区间表示）．考点：对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．解答：解：要使函数有意义：≥0，-19-\n即：≥可得0＜x2﹣1≤1解得：x∈故答案为：点评：本题主要考查了对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 15．在数列{an}中，n∈N*，若=k（k为常数），则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是 ①④ ．考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：①k=0，数列为常数列，推出矛盾，②令公差为0，推出矛盾，③令公比为1，推出矛盾，④令数列为0，1，0，1，0，1…，满足题意．解答：解：（1）若k=0则分子an+2﹣an+1=0，数列{an}为常数数列，则an+1﹣an也为0，分母为0，推出矛盾，所以k不可能为0，即①正确；（2）公差为0的等差数列不是等差比数列，因为此时分母为0，推出矛盾，所以②错误；（3）公比为1的等比数列不是等差比数列，同样此时分母为0，推出矛盾，所以③错误；（4）题设说的是可以有，那么只要找到一个满足的即可说明是对的，而数列0，1，0，1，0，1…显然为等差比数列，所以④正确．综上，正确判断命题的序号是①④，故答案为：①④．点评：新定义题，与熟悉的概念比较，将陌生知识转化为熟悉的知识，理解新定义抓住定义的关系式，进行推导．-19-\n 三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，求证：﹣=c（﹣）．考点：余弦定理的应用．专题：证明题．分析：根据余弦定理分别求出cosB，和cosA，代入求证等式的右边，化简得出求证等式的左边．解答：证明：根据余弦定理将cosB=，cosA=代入右边得右边c（﹣）====左边，∴﹣=c（﹣）．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．余弦定理常用来解三角形中边角问题，是高考常考的地方． 17．设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列{an}的通项an．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式代入已知条件，建立d与a1的方程，联立可求得数列的首项a1、公差d，再由等差数列的通项公式可求得an解答：解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为an=a+（n﹣1）d，前n项和为，-19-\n依题意有其中S5≠0．由此可得整理得解方程组得由此得an=1；或an=4﹣（n﹣1）=﹣n．经验证知时an=1，S5=5，或时，S5=﹣4，均适合题意．故所求等差数列的通项为an=1，或．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．由等差数列的前n项和确定基本量d与a1之间的关系，关键在于熟练应用公式． 18．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数，然后由三角形的内角和定理求出A的度数；-19-\n（Ⅱ）根据余弦定理表示出a的平方，配方变形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵，∴又∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴．（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得即：，∴bc=4，∴．点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 19．（1）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值．考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用二次不等式的解法求出集合A，不等式组求解集合B，通过A∩B=∅，列出关系式求解即可．（2）通过二次不等式的解，推出对应方程的根，利用韦达定理求解a，b的值即可．解答：解：（1）A={x|x＜﹣2或x＞3}，B={x|﹣a＜x＜4﹣a}…（2分）∵A∩B=φ，∴∴1≤a≤2…．（6分）-19-\n（2）∵f（x）＞0的解为﹣1＜x＜3，∴x=﹣1和x=3是﹣3x2+a（6﹣a）x+b=0的两根…（8分）∴，解得…（12分）．点评：本题考查二次不等式的解法，不等式组的求法，转化思想的应用，考查计算能力． 20．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（60≤x≤100）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由题意先设行车所用时间t，利用速度、路程、时间的关系列出t与x的关系式，再求得这次行车总费用y关于x的表达式即可；（2）欲求x为何值时，这次行车的总费用最低，利用导数知识研究（1）中函数的单调性从而求得其最小值即可．解答：解：（1）设行车所用时间为，，x∈所以，这次行车总费用y关于x的表达式是（2）所以为增函数．所以，当x=60时，这次行车的总费用最低，最低费用为元-19-\n点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、导数的应用及函数的最值，函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值． 21．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{an}的通项公式；（3）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＞对所有n∈N*都成立的最大正整数m．考点：数列的应用；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用S1，S2，S4成等比数列，建立等式，从而d=2a1，即可求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）利用S2=4，确定首项与公差，即可求{an}的通项公式；（3）利用裂项法求和，求出Tn的最小值，从而使得Tn＞对所有n∈N*都成立，等价于1＞，即可求得最大正整数m．解答：解：（1）∵数列{an}为等差数列，∴S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴∴，∴∵公差为d不等于0，∴d=2a1，∴q=，（2）∵S2=4，∴2a1+d=4，∵d=2a1，∴a1=1，d=2，∴an=2n﹣1（3）∵-19-\n∴+…+=∴（Tn）min=1使得Tn＞对所有n∈N*都成立，等价于1＞，∴m＜20∴m的最大值为19．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，属于中档题． -19-
