2022-2022学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（ ）A．﹣2B．﹣C．2D． 2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（ ）A．D．C．D．（0，） 6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（ ）A．﹣20B．20C．﹣40D．40 7．运行如图所示程序框，若输入n=2022，则输出的a=（ ）A．B．C．D． 8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（ ）-26-\nA．B．C．D． 9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（ ）A．1600B．2100C．2800D．4800 10．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（ ）A．①③B．①④C．①④⑤D．②③④⑤ 二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= ． 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ． -26-\n13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为 ． 14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 ． 15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos（﹣）的值． 17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值． -26-\n18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）甲3720302515乙51523272010根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望． 19．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知点（an，an+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n项和Tn，并求使Tn+≤成立的最大正整数n． 20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．-26-\n 21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围． -26-\n2022-2022学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（ ）A．﹣2B．﹣C．2D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（ ）A．D． 4．定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（ ）A．y=x2+1B．y=|x|+1C．y=D．y=考点：奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合．-26-\n专题：常规题型；压轴题．分析：首先利用偶函数的对称性，判断出f（x）在（﹣2，0）为减函数．然后分别分析选项中4个函数的单调性．最后判断答案即可．解答：解：利用偶函数的对称性知f（x）在（﹣2，0）上为减函数．又y=x2+1在（﹣2，0）上为减函数；y=|x|+1在（﹣2，0）上为减函数；y=在（﹣2，0）上为增函数．∴y=在（﹣2，0）上为减函数．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性．属于中档题． 5．若过点P（﹣2，﹣2）的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A．（0，）B．C．D．（0，）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤2，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．解答：解：由题意可得点P（﹣2，﹣2）在圆x2+y2=4的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤2，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是，-26-\n故选：B．点评：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（ ）A．﹣20B．20C．﹣40D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项式（2x2﹣）5展开式的通项公式即可求得答案．解答：解：设二项式（2x2﹣）5展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=25﹣r•x2（5﹣r）•（﹣x）﹣r=25﹣r•（﹣1）﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r=1得r=3，∴二项式（2x2﹣）5展开式中x的系数为22•（﹣1）﹣3=﹣40．故选：C．点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题． 7．运行如图所示程序框，若输入n=2022，则输出的a=（ ）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．-26-\n分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算a=++…+的值，i=4029时，计算a的值，输出a，程序结束．解答：解：执行程序框图，有n=2022a=0，i=1，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=3，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=5，a=+，…不满足条件i≥2n﹣1，i=4029，a=++…+，满足条件i≥2n﹣1，退出循环，输出a的值为++…+．∵a=++…+=（）=．故选：D点评：本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出每次循环的a的值，裂项法求和是解题的关键，属于基础题． 8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（ ）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用定积分公式，求出阴影部分的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．解答：解：阴影部分的面积S=2×+=1+2ln2，边长为2的正方形的面积为：4，-26-\n故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率P=，故选：A点评：本题考查的知识点是几何概型，其中利用定积分公式，求出阴影部分的面积，是解答的关键，难度中档． 9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（ ）A．1600B．2100C．2800D．4800考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=400x+300y，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，则，目标函数为：z=400x+300y作出可行域：把直线l：z=400x+300y向右上方平移，直线经过可行域上的点A，且与原点距离最大，此时z=400x+300y取最大值，解方程，解得得A的坐标为（3，3）．此时z=400×3+300×3=2100元．故选：B-26-\n点评：本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题． 10．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（ ）A．①③B．①④C．①④⑤D．②③④⑤考点：函数的值；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义分别验证对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可．解答：解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数．①y=x，f（x1）+f（x2）=4得x1+x2=4，解得x2=4﹣x1，满足唯一性，故成立．②y=x2，由f（x1）+f（x2）=4得x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件-26-\n④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．⑤y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=﹣4，不成立．故选：B点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强． 二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= 2 ．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算，由向量、的夹角为150°，||=，||=4，我们易得的值，故要求|2+|我们，可以利用平方法解决．解答：解：|2+|====2．故答案为：2点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求． -26-\n12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 9π ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故底面的外接圆直径为，故底面的外接圆半径r=，球心距d==1，故球的半径R==，故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=9π，故答案为：9π．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为 ．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．-26-\n分析：利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．解答：解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，可得a2=3b2，所以cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基本知识的考查． 14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到，注意离心率的范围．解答：解：P为双曲线右支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4a，|PF2|=2a，由△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|，即有4a=2c或2c=2a，即有e==2（1舍去）．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． -26-\n15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题．分析：原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．解答：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得或，解得a＞6或a＜﹣6．故答案为：a＞6或a＜﹣6．-26-\n点评：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos（﹣）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）在上的最值；（2）根据三角函数的图象关系求出g（x）的表达式，利用三角函数的关系式进行求值即可．解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+=sin2x﹣+cos2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∵x∈，∴﹣≤2x+≤，-26-\n∴当2x+=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值为2×（）=．当2x+=，即x=时，f（x）的最大值为2×1=2．（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）=2sin（x﹣），由g（α）=2sinx（α﹣）=﹣，得sinx（α﹣）=﹣，∵α∈（，），∴π﹣α∈（π，），是cos（α﹣）=﹣，∵＜﹣，∴cos（﹣）==﹣．点评：本题主要考查三角函数的最值的求解，根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键，要求熟练三角函数的图象和性质． 17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间向量及应用．-26-\n分析：（1）取AC的中点P，连结PM、PD，通过中位线定理可得四边形DEMP为平行四边形，进而有ME∥DP，利用线面平行的判定定理即得结论；（2）以C为坐标原点，CA、CB、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面ABE的法向量与平面BCE的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答：（1）证明：如图，取AC的中点P，连结PM、PD，在△ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，∴PM∥BC，且PM=BC，又∵DE∥BC，DE=BC，∴PM∥DE且PM=DE，故四边形DEMP为平行四边形，∴ME∥DP，又∵DP⊂平面ACDF，EM⊄平面ACDF，∴EM∥平面ACDF；（2）解：∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE=CD，AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥BC，又∵∠CDE=90°，DE∥BC，∴BC⊥CD，以C为坐标原点，CA、CB、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（0，2，2），则=（﹣2，4，0），=（﹣2，2，2），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（2，1，1），又∵AC⊥平面BCDE，∴=（2，0，0）为平面BCE的一个法向量，∴cos＜，＞===．∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．-26-\n点评：本题考查空间中线面平行的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． 18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）甲3720302515乙51523272010根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，由此能求出高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，﹣40，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的频率分布和数学期望．解答：解：（1）甲生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，-26-\n乙生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，∴高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率：P=（）3+．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，﹣40，P（X=200）==，P（X=160）==，P（X=120）==，P（X=80）==，P（X=40）==，P（X=﹣40）==，∴X的分布列为：X2001601208040﹣40PEX=+=124（元）．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一． 19．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知点（an，an+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n项和Tn，并求使Tn+≤成立的最大正整数n．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．-26-\n专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）先利点（an，an+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26，求出q=3，a1=2，即可求数列{an}的通项；（2）先把所求结论代入求出数列{Tn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可．解答：解：（1）∵点（an，an+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，∴an+1=3an，∴公比q=3，∴S3=26，∴a1+3a1+9a1=26，解得a1=2，∴数列{an}的通项公式an=2×3n﹣1．（2）由（1）知an=2×3n﹣1，an+1=2×3n，∵在an于an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，∴an+1=an+（n+1）dn，∴dn=，∴=，∴Tn=++…+，①Tn+1=++…+②①﹣②，整理得Tn=﹣．∴Tn+≤，即3n﹣1≤27，解得n≤4，∴使得Tn+≤成立的正整数n的最大值是4．点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题． 20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．-26-\n考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点Q（，1）、y=c代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过设P（t，t2+h），则直线MN的方程为：y=2tx﹣t2+h，代入椭圆方程，利用中点坐标公式及韦达定理计算即得结论．解答：解：（1）∵椭圆过点Q（，1），∴，将y=c代入椭圆方程得：x=±，∴=1，解得：a=2，b=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）设P（t，t2+h），由y′=2x可知切线斜率k=2t，∴直线MN的方程为：y=2tx﹣t2+h，将其代入椭圆方程得：4x2+（2tx﹣t2+h）2﹣4=0，化简得：4（1+t2）x2﹣4t（t2﹣h）x+（t2﹣h）2﹣4=0，∵直线MN与椭圆交于不同的两点，∴△＞0，即△=16＞0（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点横坐标为x0，由韦达定理可知：x1+x2=，x0==，设线段PA中点的横坐标为x3，则x3=，-26-\n由已知有x0=x3，即=，显然t≠0，h=﹣（t++1），当t＞0时，t+≥2，当且仅当t=1时取等号，此时h≤﹣3，不符合（*）式，舍去；当t＜0时，（﹣t）+≥2，当且仅当t=﹣1时取等号，此时h≥1，符合（*）式；综上所述，h的最小值为1．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=1代入求出g（x）的表达式，再求出g（x）的导数，从而求出g（x）的单调区间；-26-\n（2）将x0=代入f′（x0）==，问题转化为证：k（t）lnt+﹣2的单调性，（t＞1），从而证出结论；（3）设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，通过讨论x的范围，结合导数的应用，从而求出b的范围．解答：解：（1）当a=1时，g（x）=（x﹣1）﹣2f（x）=（x﹣1）﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx，定义域为（0，+∞）；g′（x）=1﹣=；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；即g（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．（2）证明：k==，又x0=，所以f′（x0）==；即证，＞，不妨设0＜x1＜x2，即证：lnx2﹣lnx1＞；即证：ln＞；设t=＞1，即证：lnt＞=2﹣；即证：lnt+﹣2＞0，其中t∈（1，+∞）；事实上，设k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），则k′（t）=﹣=＞0；-26-\n所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，所以k（t）＞k（1）=0；即结论成立．（3）由题意得+1＜0，即＜0；设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，①当x∈时，G（x）=lnx++x，G′（x）=﹣+1≤0；b≥+（x+1）2=x2+3x++3在上恒成立，设G1（x）=x2+3x++3，则G1′（x）=2x+3﹣；当x∈，G1′（x）＞0；∴G1（x）在上单调递增，G1（x）≤；故b≥．②当x∈（0，1）时，G（x）=﹣lnx++x；G1（x）=x2+3x++3，G′（x）=﹣﹣+1≤0，b≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1在（0，1）恒成立，设G2（x）=x2+x﹣﹣1，（x）=2x+1+＞0，即G2（x）在（0，1）单调递增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，综上所述：b≥．-26-\n点评：本题考查了函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度． 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