2022-2022学年高二上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.点（3,1）和点（-4,6）在直线两侧，则的范围是（）A．或B．C．或D．3.在等差数列中，，公差，若，则的值为（）A．37B．38C．19D．364.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（）A．B．C.D．5.的内角，，的对边分别为，，.若，，成等比数列，且，则（）A．B．C.D．7\n6.若实数，满足，则的最小值为（）A．-7B．-3C.1D．97.已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为（）A．1B．8C.D．48.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（）A．3B．C.D．9.若关于的不等式在区间（1,4）内有解，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．10.在中，角，，的对边分别为，，，表示的面积，若，，则=（）A．B．C.D．11.定义为个正数，，···的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A．B．C.D．12.已知，则的最小值为（）A．B．4C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，内角，，的对边分别为，，，，，,则角的值是．14.已知在等比数列中，各项均为正数，且，，则．（填数值）15.对于使成立的所以常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，7\n且，则的上确界为．16.给出下列命题：①中角，，的对边分别为，，，若，则；②，，若，则；③若，则；④设等差数列的前项和为，若，则.其中正确命名的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知，，分别是中角，，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18.等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足且，且数列的前项和.19.已知函数.（1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.20.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求边的取值范围.21.某科研小组研究发现：一棵水果树的产量 (单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系:.此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)百元.已知这种水果的市场7\n售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）.（1）求的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？22.已知数列的前项和为，点在函数图像上；（1）证明是等差数列；（2）若函数，数列满足，记，求数列前项和；（3）是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.14.15.16.①②④三、解答题17.解析：（1）由及正弦定理，得，所以，又，故.（2）由及，得.由及余弦定理，得.所以，.故.18.解析：（1）设等差数列的公差为，，，，解得，（2），，当时，7\n当时，适合上式，所以.18.（1）当时，恒成立；当时，要使对任意实数，恒成立，需满足，解得，故实数的取值范围为.（2）由不等式得，即.方程的两根是，.①当时，，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式无解；⑤当时，，不等式的解为.19.（1）由已知得：，由正弦定理，得，，则，即，又，则.（2），即，，由余弦定理得：，即7\n，由，得，.18.解析：（1）（2）当时当时当且仅当时，即时等号成立.答：当投入肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润为4300元.19.解析：（1）由题意，，当时，，时，，当时，，也适合上式数列的通项公式为，；是等差数列.（2）函数，数列满足，又，，···①，···②①-②得：，.（3）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即任意恒成立，7\n，是递增数列，所以只要，即，解得或.所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立.7
