2022-2022学年山东省济宁市嘉祥一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分）1．（5分）=（ ） A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．解答：解：===，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题． 2．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（ ） A．x+y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先对函数f（x）=进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线f（x）=在点x=0处的切线斜率，进而可得到切线方程．解答：解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（x）|x=0=﹣1，切点坐标（0，1）∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即x+y﹣1=0．故选A．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算．导数是由高等数学下放到高中数学的新内容，是高考的热点问题，每年必考，一定要强化复习． 3．（5分）曲线y=x3﹣3x和y=x围成的面积为（ ） A．4B．8C．10D．914\n考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）曲线y=x3﹣3x与直线y=x在y轴右侧所围成的图形的面积是（x﹣x3+3x）dx=（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）=4，根据y=x3﹣3x与y=x都是奇函数，关于原点对称，y轴左侧的面积与第一象限的面积相等．∴曲线y=x3﹣3x与y=x所围成的图形的面积为2×4=8．故选B．点评：本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性． 4．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（ ） A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x014\n时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论． 5．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（ ） A．都不大于﹣2B．都不小于﹣2 C．至少有一个不大于﹣2D．至少有一个不小于﹣2考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：假设a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，得a++b++c+≤﹣6，因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，即a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．解答：解：假设a+，b+，c+都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用． 6．（5分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ） A．y=3x2或y=﹣3x2B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2D．y=﹣3x2或y2=9x考点：抛物线的标准方程；圆的标准方程．分析：首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，﹣3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程解答：解：根据题意知，圆心为（1，﹣3），14\n（1）设x2=2py，p=﹣，x2=﹣y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选D．点评：本题考查了抛物线和圆的标准方程，但要注意抛物线的位置有在x轴和y轴两种情况，属于基础题． 7．（5分）若f（x）=2f（2﹣x）+f'（1）x﹣4lnx，则f（1）等于（ ） A．﹣2B．﹣4C．2D．0考点：导数的运算；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：对f（x）=2f（2﹣x）+f'（1）x﹣4lnx两边对x求导，得f'（x）=﹣2f'（2﹣x）+f'（1）﹣，令x=1，求出f'（1）从而f（x）=2f（2﹣x）﹣2x﹣4lnx，再把x=1代入此中即可求出f（1）的值．解答：解：对f（x）=2f（2﹣x）+f'（1）x﹣4lnx两边对x求导，得f'（x）=﹣2f'（2﹣x）+f'（1）﹣，令x=1，得f'（1）=﹣2f'（1）+f'（1）﹣4，∴f'（1）=﹣2，∴f（x）=2f（2﹣x）﹣2x﹣4lnx，令x=1得，f（1）=2f（1）﹣2，∴f（1）=2．故选C．点评：此题考查学生灵活运用求导法则求函数的导函数，会利用自变量的取值求出函数所对应的值，是一道中档题． 8．（5分）取一根长度为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米的概率为（ ） A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，设其中一段长为xm，关键是要找出剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米时，x点对应的图形的长度，并将其代入几何概型的计算公式，进行求解．解答：解：记“剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米”为事件A，∵绳子的总长为5米，设剪得的一段长为x米，则有：14\n，解得2≤x≤3，∴如图所示，只能在中间2米﹣3米的部分剪断，才能使剪出的两段符合条件，根据几何概型的概率公式，可得事件A发生的概率P（A）=故选C．点评：本题给出7米长的绳子，求使剪出的两段绳子的长都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米的概率．着重考查了几何概型及其计算公式等知识，属于基础题． 9．（5分）若的展开式中各项系数和为99﹣n，则展开式中系数最大的项为（ ） A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据展开式中各项系数和为3n=99﹣n=318﹣2n，求得n的值，解答：解：由于的展开式中各项系数和为3n=99﹣n=318﹣2n，∴18﹣2n=n，解得n=6，故展开式的通项为Tr+1=•x6﹣r•2r•x﹣r=2r••x6﹣2r．由，由此解得自然数r=4，故展开式中系数最大的项为第五项．故选C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 10．（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若aij=2022，则i与j的和为（ ）14\n A．105B．103C．82D．81考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前32个奇数行内数的个数的和为1024，得到2022在第32个奇数行内，且奇数从大到小排列，从而得到结果．解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2022=2×1007﹣1，得2022为第1007个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+…+61=961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2022在第32个奇数行内，所以i=63，且奇数从大到小排列因为第63行的第一个数为2×1024﹣1=2047，2022=2047﹣2（m﹣1），所以m=18，即j=18，所以i+j=81．故选D点评：本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 11．（5分）在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（ ） A．35B．70C．50D．105考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：用列举法，由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．解答：解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况14\n总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．点评：本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 二．填空题（共4小题，每题5分，共20分．）12．（5分）若曲线y=ex+a与直线y=x相切，则a的值为 ﹣1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求导函数，利用曲线y=ex+a与直线y=x相切，可知切线的斜率为1，得出切点的横坐标，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值．解答：解：设切点为（x，y），∵y=ex+a，∴y′=ex，∵直线y=x与曲线y=ex+a相切，∴ex=1，即x=0．∵切点处的函数值相等，∴e0+a=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义． 13．（5分）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2= 1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中利用赋值法，分别令x=1可求a0+a1+a2+a3+a4，令x=﹣1可求a0﹣a1+a2﹣a3+a4），而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入可求解答：解：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4=令x=﹣1可得，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=•=1故答案为：1点评：本题主要考查了二项展开式中利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和（注意是各项系数之和，要区别于二项式系数之和），解饿答本题还要注意所求式子的特点：符合平方差公式． 14．（5分）= ．14\n考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=+．前半部分由积分的几何意义求解较好，其几何意义是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积．解答：解：由于=+．其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S△ACQ+S扇形ABQ+S△BDQ=++=+，又=6，∴=．故答案为：．点评：本题考查求定积分，解题的关键是掌握住求定积分的公式以及定积分的几何意义，对于有些原函数不易求出的积分的求解，用其几何意义比较方便． 15．（5分）在等比数列{an}中，若前n项之积为Tn，则有．则在等差数列{bn}中，若前n项之和为Sn，用类比的方法得到的结论是 S3n=3（S2n﹣Sn） ．考点：类比推理．专题：压轴题；探究型．分析：由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．解答：解：在等差数列中S3n=Sn+（S2n﹣Sn）+（S3n﹣S2n）=（a1+a2+…+an）++（S2n﹣Sn）+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）14\n因为a1+a3n=a2+a3n﹣1=…=an+a2n+1=an+1+a2n所以Sn+（S3n﹣S2n）=2（S2n﹣Sn），所以S3n=3（S2n﹣Sn）．故答案为：S3n=3（S2n﹣Sn）．点评：本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（10分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中项的系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）前三项系数的绝对值成等差数列，可得，由此解得n的值．（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项．（3）研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．解答：解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，∴，即n2﹣9n+8=0，解得n=8；（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为=．（3）先研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，14\n故系数最大的项为第三项，即．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题． 17．（12分）数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N）（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据Sn=2n﹣an，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4．（II）总结出规律求出an，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．解答：解：（Ⅰ）由a1=2﹣a1，得a1=1，由a1+a2=2×2﹣a2，得a2=，由a1+a2+a3=2×3﹣a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，得a4=，猜想an=（Ⅱ）证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，（2）假设n=k时猜想成立，即ak=，此时Sk=2k﹣ak=2k﹣，当n=k+1时，Sk+1=2（k+1）﹣ak+1，得Sk+ak+1=2（k+1）﹣ak+1，因此ak+1=[2（k+1）﹣Sk]=k+1﹣（2k﹣）=，∴当n=k+1时也成立，∴an=（n∈N+）．点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法． 14\n18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）由f（x）=ax2+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）．（2）由f（x）=x2﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得，x2=1．列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=ax2+bx﹣3，∴f′（x）=2ax+b．∵二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行，∴，解得a=1，b=﹣2．所以f（x）=x2﹣2x﹣3．（2）∵f（x）=x2﹣2x﹣3，∴g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得，x2=1．x（﹣∞，）（，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）↑极大值↓极小值0↑所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞）．在x2=1有极小值为0．在有极大值．（3）∵g（0）=0，g（2）=2，14\n∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．点评：本题考查导数在求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 19．（12分）知复数z=（1﹣i）2+3+6i．（1）求z及|z|；（2）若z2+az+b=﹣8+20i，求实数a，b的值．考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：（1）利用复数代数形式的运算进行化简可得z，根据求模公式可得|z|；（2）由（1）把z代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即得a，b；解答：解：（1）z=（1﹣i）2+3+6i=﹣2i+3+6i=3+4i，|z|==5；（2）z2+az+b=（3+4i）2+a（3+4i）+b=（3a+b﹣7）+（4a+24）i，所以z2+az+b=﹣8+20i，即=（3a+b﹣7）+（4a+24）i=﹣8+20i，所以，解得；点评：本题考查复数代数形式的运算、复数相等的充要条件，属基础题． 20．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．（2）将f（x1）＜g（x2）问题转化为求函数的最值问题．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．当a＜0时，函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；14\n当a＜0时，又g（x2）=x22﹣2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max=g（0）=2．所以，解得a＜﹣e﹣3．所以，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）．点评：本题的考点是利用导数求函数的极值以及求函数的最大值最小值． 21．（12分）（2022•宁夏）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由椭圆的性质可得从而解决．（2）设M（x，y），其中x∈[﹣4，4]．由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，整理得（16λ2﹣9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[﹣4，4]．再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．解答：解：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得，解得a=4，c=3，所以椭圆C的方程为=1．（2）设M（x，y），其中x∈[﹣4，4]．由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，整理得（16λ2﹣9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[﹣4，4]．①λ=时，化简得9y2=112．所以点M的轨迹方程为y=±（﹣4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．14\n②λ≠时，方程变形为=1，其中x∈[﹣4，4]；当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足﹣4≤x≤4的部分；当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足﹣4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题． 14
