2022-2022学年山东省枣庄八中南校区高二（上）10月月考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．△ABC中，A=45°，C=30°，c=10，则a等于（ ）A．10B．C．D． 2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）A．B．C．或D．或 3．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 4．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（ ）A．B．C．D． 5．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ）A．B．C．D． 6．数列{an}为等比数列，a1=2，a5=8，则a3=（ ）A．4B．﹣4C．±4D．± 7．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）A．58B．88C．143D．176 8．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（ ）A．B．C．D．n2+n 9．在等差数列{an}中，a1＞0，5a5=9a9，则当数列{an}的前n项和Sn取最大值时n的值等于（ ）A．12B．13C．14D．13或14 10．已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（ ）-13-\nA．B．C．D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．11．数列数列﹣3，5，﹣7，9，﹣11，……的一个通项公式为 ． 12．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则∠C= ． 13．已知数列{an}的前n项和是2Sn=3n+3，则数列的通项an= ． 14．如图，一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时30海里的速度从A处开始航行，此时灯塔M在轮船的北偏东45°方向上，经过40分钟后，轮船到达B处，灯塔在轮船的东偏南15°方向上，则灯塔M和轮船起始位置A的距离为 海里． 15．已知数列{an}的通项公式为an=nsin+1，前n项和为Sn，则S2022= ． 三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）（2022•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值． 17．（12分）（2022秋•枣庄校级月考）已知等差数列{an}满足：a6=13，a2+a4=14，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn．（Ⅱ）令bn=，（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn． 18．（12分）（2022秋•枣庄校级月考）某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）前n年总收入前n年的总支出﹣投资额72万元）-13-\n（1）该厂从第几年开始盈利？（2）写出年平均纯利润的表达式． 19．（12分）（2022•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积． 20．（13分）（2022•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长． 21．（14分）（2022•湖南校级模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2（n∈N*）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在an与an+1之间插人n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列{}的前n项和Tn． 2022-2022学年山东省枣庄八中南校区高二（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．△ABC中，A=45°，C=30°，c=10，则a等于（ ）A．10B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】直接利用正弦定理求得a的值．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得=，即=，解得a=10，故选B．【点评】本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题． 2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）A．B．C．或D．或【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过余弦定理求出cosB的值，进而求出B．【解答】解：∵，-13-\n∴根据余弦定理得cosB=，即，∴，又在△中所以B为．故选A．【点评】本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点． 3．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，故选D．【点评】本题考查正弦定理的应用，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A﹣B）=0是解题的关键． 4．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（ ）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC===﹣．故选A．【点评】本题是基础题，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力． 5．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ）A．B．C．D．-13-\n【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选D【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题． 6．数列{an}为等比数列，a1=2，a5=8，则a3=（ ）A．4B．﹣4C．±4D．±【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q2=2，可得a3=a1•q2，代入计算可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则可得q4==4，解得q2=2，∴a3=a1•q2=2×2=4故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式，得出q2=2是解决问题的关键，本题易错选C，属易错题． 7．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）A．58B．88C．143D．176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，-13-\n故选B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题． 8．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（ ）A．B．C．D．n2+n【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】设数列{an}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列{an}的前n项和．【解答】解：设数列{an}的公差为d，则根据题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），所以数列{an}的前n项和．故选A．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 9．在等差数列{an}中，a1＞0，5a5=9a9，则当数列{an}的前n项和Sn取最大值时n的值等于（ ）A．12B．13C．14D．13或14【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由5a5=9a9，利用等差数列的通项公式得到a1=﹣13d，由此求出数列的{an}的前n项和Sn，配方后能求出数列{an}的前n项和Sn取最大值时n的值．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1＞0，5a5=9a9，∴5（a1+4d）=9（a1+8d），整理，得a1=﹣13d，∴d＜0，=﹣13nd+=﹣，∴n=13或n=14时，数列{an}的前n项和Sn取最大值．故选：D．【点评】本题考查数列{an}的前n项和Sn取最大值时n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 10．已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（ ）A．B．C．D．-13-\n【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想．【分析】由“P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和．【解答】解：∵点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上∴an﹣an+1+1=0∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴an=n∴∴==故选C【点评】本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题，来考查数列的通项公式及前n项和的求法． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．11．数列数列﹣3，5，﹣7，9，﹣11，……的一个通项公式为 an=（﹣1）n（2n+1） ．【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设此数列为{an}，其符号为（﹣1）n，其绝对值为2n+1，即可得出．【解答】解：设此数列为{an}，其符号为（﹣1）n，其绝对值为2n+1，可得通项公式an=（﹣1）n（2n+1）．故答案为：an=（﹣1）n（2n+1）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则∠C= ．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sinC=，求出∠C的值．【解答】解：因为在△ABC中，若a2+b2＜c2，所以三角形是钝角三角形，∠C＞90°，又sinC=，所以∠C=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角形的有关计算，勾股定理、余弦定理的应用，考查计算能力． 13．已知数列{an}的前n项和是2Sn=3n+3，则数列的通项an= ．-13-\n【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由2Sn=3n+3，可得当n=1时，2a1=3+3，解得a1．当n≥2时，+3，2an=2Sn﹣2Sn﹣1即可得出．【解答】解：∵2Sn=3n+3，∴当n=1时，2a1=3+3，解得a1=3．当n≥2时，+3，∴2an=（3n+3）﹣（3n﹣1+3），化为an=3n﹣1．∴an=，故答案为：．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．如图，一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时30海里的速度从A处开始航行，此时灯塔M在轮船的北偏东45°方向上，经过40分钟后，轮船到达B处，灯塔在轮船的东偏南15°方向上，则灯塔M和轮船起始位置A的距离为 海里．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】首先将实际问题抽象成解三角形问题，再借助于正弦定理求出灯塔M和轮船起始位置A的距离．【解答】解：由题意可知△ABM中AB=20，B=45°，A=75°，∴∠M=60°，由正弦定理可得，∴AM=．故答案为：．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础． -13-\n15．已知数列{an}的通项公式为an=nsin+1，前n项和为Sn，则S2022= ﹣2022 ．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】an=nsin+1，可得a1=2，a2=1，a3=﹣3+1=﹣2，a4=1，a5=5+1=6，…，于是a2k=2ksinkπ+1=1，a2k﹣1=（2k﹣1）+1=（﹣1）k+1（2k﹣1）+1．即可得出．【解答】解：∵an=nsin+1，∴a1=2，a2=1，a3=﹣3+1=﹣2，a4=1，a5=5+1=6，…，可得a2k=2ksinkπ+1=1，a2k﹣1=（2k﹣1）+1=（﹣1）k+1（2k﹣1）+1．∴S2022=（a1+a3+…+a2022）+（a2+a4+…+a2022）=[（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2022﹣2022）﹣2022+1008]+1007=（﹣2×1007﹣2022+1008）+1007=﹣2022．故答案为：﹣2022．【点评】本题考查了递推关系的应用、分组求和问题、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）（2022•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．【考点】数列与三角函数的综合．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分-13-\n（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分【点评】本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题． 17．（12分）（2022秋•枣庄校级月考）已知等差数列{an}满足：a6=13，a2+a4=14，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn．（Ⅱ）令bn=，（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过设等差数列{an}的公差为d，利用a1+5d=13、2a1+4d=14计算可得首项与公差，进而可得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知bn=﹣，（n∈N*），并项相加即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a6=13，a2+a4=14，∴a1+5d=13，2a1+4d=14，解得：a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，Sn=3n+×2=n2+2n；（Ⅱ）由（I）可知bn===﹣，（n∈N*），∴Tn=b1+b2+…+bn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． -13-\n18．（12分）（2022秋•枣庄校级月考）某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）前n年总收入前n年的总支出﹣投资额72万元）（1）该厂从第几年开始盈利？（2）写出年平均纯利润的表达式．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）通过f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资金额72万元即可列出表达式，进而解不等式f（n）＞0即得结论；（2）通过年平均纯利润为，直接列式即可．【解答】解：（1）依题意，根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资金额72万元，可得f（n）=50n﹣[12n+×4]﹣72=﹣2n2+40n﹣72，由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得：2＜n＜18，由于n为整数，故该厂从第3年开始盈利；（2）年平均纯利润=﹣2n+40﹣=40﹣2（n+）．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题． 19．（12分）（2022•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，-13-\n则S△ABC=bcsinA=．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 20．（13分）（2022•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．【解答】解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． 21．（14分）（2022•湖南校级模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2（n∈N*）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在an与an+1之间插人n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列{}的前n项和Tn．【考点】数列递推式；数列的求和；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】（I）由可得an=2sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1=3an（n≥2），结合已知等比数列的条件可得a2=3a1，可求a1，从而可求通项（II）等差数列的性质可知=，利用错位相减可求数列的和-13-\n【解答】解：（I）由可得an=2sn﹣1+2（n≥2）两式相减可得，an+1﹣an=2an即an+1=3an（n≥2）又∵a2=2a1+2，且数列{an}为等比数列∴a2=3a1则2a1+2=3a1∴a1=2∴（II）由（I）知，，∵an+1=an+（n+1）dn∴==两式相减可得，===【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用及由数列的递推公式求解通项，数列求和的错位相减求和方法的应用是解答本题的关键 -13-
