山东省曲阜夫子学校2022届高三数学上学期第二次（11月）月考试题理一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知，则不等式，，中不成立的个数为()A．0B．1C．2D．33．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A．∥∥B．∥C．∥∥D．∥∥4．将函数y＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．B．C．D．5．已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于( )A．1B.C.D．36．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．6天B．7天C．8天D．9天7．定义域为的函数满足，，若，且，则（）.A．B.-12-\nC.D.与的大小不确定8．数列满足，且，若，则的最小值为()A3B4C5D69．已知，，且为与的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()A.B.C.D.11．向量满足：，则最大值为（）A．B.C.D.12．设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是（）A．B.C.D.二、填空题（共4小题，20分）13．设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为14．已知数列的前项和为，，，,则___________15．已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为_____________-12-\n16．设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_________三、解答题（共6题，70分）17.如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．18.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设点，与的交点为，求的最大值.19．已知函数．（I）若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得函数图像与直线有两个交点？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．20．已知中，内角的对边分别为，且成等差数列，.（I）求；-12-\n（II）设（），求的面积的最小值.21．若数列是公差为2的等差数列，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.22．已知，函数（I）若在上为单调增函数，求实数的取值范围-12-\n（II）证明：-12-\n理科数学试题参考答案一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．C2．D3．C 4．A5．C 6．C7．A8．C9．B10．D11．D12．A二、填空题（共4小题，20分）13．314．15．16．三、解答题（共6题，70分）17.如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．（Ⅰ）求证：平面；改编（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．解：（Ⅰ）如图，过点作于，连接-12-\n.平面平面，平面平面平面于平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面………6分（Ⅱ）连接由（Ⅰ），得为中点，又，为等边三角形，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为.由得令，得.18.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；-12-\n（2）设点，与的交点为，求的最大值.解.（1）把代入曲线可得化为直角坐标为，又过点，得直线的普通方程为；可化为.由可得，即曲线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，化简得，①可得，故与同号，所以时，有最大值.此时方程①的，故有最大值.19．已知函数．（I）若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得函数图像与直线有两个交点？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．解（I）由（I）得.要使函数在区间上单调递增,即要使在区间上恒成立..-12-\n（II）由得有两个实根令则，（2）当时，函数在是增函数，不合题意；（3）当时，函数在上是增函数;在上是减函数要使函数有两个零点则只需解得不合题意；（4）当时，函数在上是增函数;在上是减函数要使函数有两个零点则只需或解得或综上所述，或.20．已知中，内角的对边分别为，且成等差数列，.（1）求；（2）设（），求的面积的最小值.21.解：（1）C=2A,B=因为成等差数列所以得=整理得：解之得：或(舍去)-（2）∵又，,,-，-所以=即所求的△ABC面积的最小值为1521．若数列是公差为2的等差数列，数列满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.-12-\n（1）求数列,的通项公式；（2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.(1)∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.又数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.∴bn＝2n－1.(2)由数列{cn}满足cn＝＝＝，数列{cn}的前n项和为Tn＝1＋＋＋…＋，∴Tn＝＋＋…＋＋，两式作差，得∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，当n＝2k(k∈N*)时，λ<4－，取n＝2，∴λ<3.当n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－，取n＝1，∴λ>－2.综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).22．已知，函数-12-\n（I）若在上为单调增函数，求实数的取值范围（II）证明：【答案】(1)1.(2).（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先求的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值。（2）在上恒成立，分离变量，在上恒成立，求解函数在上的最大值。（3）利用（2）问的结论进行放缩。详解：（1）函数的定义域为，.当，，当，，∴为极小值点，极小值.（2）∵.∴在上恒成立，即在上恒成立.又，所以，所以，所求实数的取值范围为.（3）由（2），取，设，则，即，于是..-12-\n所以.-12-
