2022年山东省日照市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•日照二模）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1，2}，B={﹣1，1}，则A∩（∁∪B）为（ ） A．{1，2}B．{1}C．{2}D．{﹣1，1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：首先利用补集的概念求出∁∪B，然后直接利用交集的运算进行求解．解答：解：由U={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣1，1}，则∁∪B={﹣2，0，2}，又A={﹣1，1，2}，所以A∩（∁∪B）={﹣1，1，2}∩{﹣2，0，2}={2}．故选C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题，属会考题型． 2．（5分）（2022•日照二模）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的除法将化成a+bi的形式然后再利用复数与坐标平面的点的对应可知有序数对（a，b）即为在复平面内对应的点．解答：解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i∴===+（﹣）i∴在复平面内对应的点为（，﹣）且此点为第四象限故选D点评：本题主要考察了复数的除法运算，属常考题，较易．解题的关键是熟记复数的除法运算法则即分子分母同时除以分母的共轭复数，同时此题也考察了复数与坐标平面的点的对应！ 3．（5分）（2022•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A．6B．8C．10D．12考点：分层抽样方法．专题：计算题．15分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．解答：解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选B．点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题． 4．（5分）（2022•日照二模）“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（ ） A．充要条件B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题； 5．（5分）（2022•日照二模）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（ ） A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b∈α②只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β．③a可能在平面α内④命题正确．解答：解：①可能b∈α，命题错误②若α⊥β，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β，命题错误③a可能在平面α内，命题错误④命题正确．故选B．点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例．15 6．（5分）（2022•日照二模）执行如图所示的程序，若输出的结果是4，则判断框内实数m的值可以是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给变量x赋值﹣1，然后判断﹣1与m的大小关系，﹣1≥m时执行x=x+1，不成立时执行x=x2，跳出循环，输出x的值．由输出的x的值是4进行循环次数的判断，从而得到判断框中m的值．解答：解：框图首先给变量x赋值﹣1，判断﹣1≥m不成立，执行x=﹣1+1=0；判断0≥m不成立，执行x=0+1=1；判断1≥m不成立，执行x=1+1=2；判断2≥m成立，执行x=22=4．输出x的值等于4．由此判断m的值等于2．故选B．点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，是直到型循环，即不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，算法结束，是基础题． 7．（5分）（2022•日照二模）在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ） A．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质；正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定．解答：解：正弦函数的周期公式T=，∴y=sinax的最小正周期T=；对于A：T＞2π，故a＜1，因为y=ax的图象是增函数，故错；对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y=ax是减函数，故错；对于C：T=2π，故a=1，∴y=ax=1，故错；15对于D：T＞2π，故a＜1，∴y=ax是减函数，故对；故选D点评：本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题． 8．（5分）（2022•日照二模）在区间[]上随机取一个数x，则的概率是（ ） A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先化简不等式，确定满足sin（x+）∈且在区间[]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答：解：∵，即sin（x+）∈，∵x∈[]，∴在区间[]内，满足sin（x+）∈的x∈[0，]，∴事件的概率为P==．故选B．点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题． 9．（5分）（2022•日照二模）如图：（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是（ ） A．①③B．①④C．②③D．②④考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题；函数的性质及应用．分析：15根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．解答：解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．故选C．点评：本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题的关键是对图形的理解． 10．（5分）（2022•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则的最小值为（ ） A．1B．C．2D．2考点：基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}可得△=4﹣4ab=0⇒ab=1且a﹣b＞0而=利用基本不等式可求最小值．解答：解：∵二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b∴△=4﹣4ab=0⇒ab=1且a﹣b＞0∴=当且仅当时取等号故选D点评：本题主要由一元二次不等式的解集的存在情况为切入点，考查了利用基本不等式求解最值的问题，解决问题的关键是要注意ab=1的灵活运用，使得所要求的式子配凑成基本不等式所要求的“一正”“二定”“三相等”的形式． 11．（5分）（2022•日照二模）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐进线平行的直线交另一条渐进线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可得M，F1，F2的坐标，进而可得，的坐标，由15＞0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，结合离心率的定义可得范围．解答：解：联立，解得，∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（，），=（，），由题意可得＞0，即＞0，化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e=＞2故选D点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 12．（5分）（2022•日照二模）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（ ） A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．点评：15本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2022•日照二模）已知α为第二象限角，，则sin2α= ﹣ ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α为第二象限角，及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为第二象限角，且cosα=﹣，∴sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．（4分）（2022•日照二模）定义运算，函数图象的顶点坐标是（m，n），且k，m，n，r成等比数列，则k．r的值为 14 ．考点：等比数列的通项公式；二次函数的性质．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：由新定义可得f（x）=（x+2）2﹣7，可得m，n，进而由等比数列的性质可得答案．解答：解：由题意可得f（x）=（x﹣1）（x+3）﹣2（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，故可得m=﹣2，n=﹣7，由等比数列的性质可得：kr=mn=（﹣2）（﹣7）=14故答案为：14点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及二次函数的性质，属基础题． 15．（4分）（2022•日照二模）若x、y满足，则函数的最大值为 ﹣2 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：①画可行域②z=x+y为目标函数纵截距③画直线0=x+y，平移直线过（2，2）时u有最大值解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=x+y，可看成是直线z=x+y的纵截距，画直线0=x+y，平移直线过A（2，4）点时z有最小值415则函数的最大值为﹣2故答案为：﹣2．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 16．（4分）（2022•资阳二模）如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①；②；③；④；⑤．其中终点落地阴影区域内的向量的序号是 ①③ （写出满足条件的所有向量的序号）．考点：平面向量的基本定理及其意义；命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1．可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．解答：解：由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1．可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足，且u＞0，v＞0，u+v＞1．证明如下：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE∥ON，PF∥OM，分别交OM，ON于点E，F；PE交AB于点P′，过点P′作P′F′∥OM交ON于点F′，则存在唯一一对实数（x，y），（u′，v′），使得=，且u′+v′15=1，u′，v′唯一；同理存在唯一一对实数x′，y′使得===，而x′=x，y″＞y，∴u=u′，v＞v′，∴u+v＞u′+v′=1．即可判断出①∵1+2＞1，∴点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确；而②④不正确；⑤原式==，而，故不符合条件．综上可知：只有①③正确．点评：熟练掌握向量共线的充要条件：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1；及当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2022•日照二模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：x…0…y…010﹣10…（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，，求△ABC的面积．考点：三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）先求出函数的周期，求出ω，根据特殊点求出φ，可得函数f（x）的解析式；（Ⅱ）由，确定A的值，利用正弦定理求出sinB，再求△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数f（x）的周期为，所以．15注意到，也即，由0＜φ＜π，所以所以函数的解析式为（或者f（x）=cos2x）（Ⅱ）∵，∴或当时，在△ABC中，由正弦定理得，，∴，∵BC＞AC，∴，∴，∴，∴；）同理可求得，当时，．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦定理，考查计算能力，是基础题． 18．（12分）（2022•日照二模）设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an﹣1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为Tn，试证明不等式＜1成立．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）先将题设中数列的和与项的关系式转化为数列的项的关系式，根据等差数列的定义证明即可；（II）求出an，再求出数列的通项，用裂项相消法求出Tn，根据Tn的单调性证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵（an﹣1）（an+3）=4Sn，当n≥2时，（an﹣1﹣1）（an﹣1+3）=4Sn﹣1，两式相减，得，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，又an＞0，∴an﹣an﹣1=2．当n=1时，（a1﹣1）（a1+3）=4a1，∴（a1+1）（a1﹣3）=0，又a1＞0，∴a1=3．所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），a1=3，d=2，∴an=2n+1．15设，n∈N*；∵an=2n+1，∴∴∴Tn=b1+b2+b3+…+bn==．又∵，∴，综上所述：不等式成立．点评：本题考查裂项相消法求数列的和及利用定义证明等差数列． 19．（12分）（2022•日照二模）某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2022年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）． 分数频数频率（0，0.5）50.05[0.5，1）80.08[1，1.5）220.22[1.5，2）a[2，2.5）200.20[2.5，3）120.12[3，3.5）b[3.5，4]（Ⅰ）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；（Ⅱ）设A1，A2，A3是月用水量为[0，2）的家庭代表．B1，B2是月用水量为[2，4]的家庭代表．若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B1，B2至少有一人被选中的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：规律型．分析：（I）根据频率直方图的高为频率与组距的比，计算出a；根据频率=求得b；再根据频率分布表求家庭月用水量不超过3吨的频率即可；（II）根据古典概型的计算公式，先求五代表中任选2人的所有情况（事件），再求B1、B2至少有一人被选中的情况（事件），代入公式计算即可．15解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得a=0.5×0.5=0.25，∴月用水量为[1.5，2）的频数为25．故2b=100﹣92=8，得b=4．由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，所以，家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92．（Ⅱ）由A1、A2、A3、B1、B2五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，事件A包含的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共包含7个基本事件数．又基本事件的总数为10，所以．即家庭代表B1、B2至少有一人被选中的概率为．点评：本题考查频率分布直方图及古典概型的概率计算． 20．（12分）（2022•日照二模）如图是一直三棱柱（侧棱CD⊥底面ABC）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：AN∥平面CEM；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（I）由平面ABC⊥平面ACDE，结合面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACDE，结合已知三视图中数据可得AC=AB=AE=2，CD=4，代入棱锥体积公式，可得答案．（II）连接MN，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理可得四边形ANME为平行四边形，即AN∥EM，结合线面平行的判定定理可得AN∥平面CEM；（Ⅲ）根据等腰三角形三线合一，可得AN⊥BC，结合面面垂直的性质定理可得AN⊥平面BCD，结合（II）中AN∥EM，由线面垂直的判定定理得到EM⊥平面BCD，再由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCD．解答：解：（Ⅰ）由题意可知：四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，又∵平面ABC∩平面ACDE=AC，AB⊂平面ABC∴AB⊥平面ACDE，又∵AC=AB=AE=2，CD=4，…（2分）则四棱锥B﹣ACDE的体积为：，15即该几何体的体积为4．…（4分）证明：（Ⅱ）由题图知，连接MN，则MN∥CD，且．又AE∥CD，且，…（6分）∴MN∥AE，MN=AE，∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM．∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME．…（8分）（Ⅲ）∵AC=AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN⊂平面ABC∴AN⊥平面BCD．…（10分）由（Ⅱ）知：AN∥EM，∴EM⊥平面BCD，又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD．…（12分）点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（I）的关键是由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACDE，（II）的关键是分析出四边形ANME为平行四边形，即AN∥EM，（III）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化． 21．（13分）（2022•日照二模）已知椭圆过点D（1，），焦点为F1，F2，满足．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，P为椭圆上一点，且满足（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）把点的坐标代入椭圆方程得到一个关于a，b的方程，由代入坐标后求出c的值，结合a2﹣b2=c2得到关于a，b的另一方程联立后可求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知过点，得，①15记c=，不妨设F1（﹣c，0），F2（c，0），则=（﹣c﹣1，﹣），=（c﹣1，﹣），由，得c2=1，即a2﹣b2=1．②由①、②，得a2=2，b2=1．故椭的方程为．（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在．设AB方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，．，∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．，∵点P在椭圆上，∴．∴16k2=t2（1+2k2），，∴﹣2＜t＜2．∴t的最大整数值为1．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题． 22．（13分）（2022•日照二模）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+1nx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．15考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），由题意知x1、x2是方程f'（x）=0的两个不相等的实根，建立不等关系解之即可；（II）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；（III）由题意得对x∈[1，+∞）恒成立，设则问题转化为：使g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，利用导数结合对字母a分类讨，论研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由已知函数的定义域为（0，+∞），由已知f'（x）=0两个相异正实数根x1，x2，即2ax（x﹣1）+1=0有两相异正根，则必有a＞0，从而解得a＞2．…（4分）（Ⅱ），∴，所以，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，2）；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）的单调递减区间是（2，+∞）．…（8分）（Ⅲ）由题意得对x∈[1，+∞）恒成立，设则使g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，求导得，（1）当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0．（2）当时，，则g（x）在单调递减，单调递增，存在，有，所以不成立．（3）当时，则g'（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使得g（x）＞g（1）=0，则不符合题意．综上所述a≤0．…（13分）点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题． 15
