山东省德州一中2022届高三上学期1月月考文科数学试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、导数、函数模型、函数的性质、三角函数，数列，椭圆，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.若，则等于A.B.C.D.【知识点】集合及其运算A1【答案】B【解析】由题意得={1，2，3，4，6},则=。【思路点拨】先求出并集再求出结果。【题文】2.已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】A【解析】由得0<a<1,是的充分而不必要条件。【思路点拨】先求出a的范围求出充分而不必要条件。【题文】3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是a.8b.16c.32d.64【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案】c【解析】由=，，=32.【思路点拨】根据等比数列的性质得。【题文】4.已知命题：命题.则下列判断正确的是a.p是假命题b.q是真命题c.是真命题d.是真命题【知识点】命题及其关系a213【答案】c【解析】由重要不等式得正确，得不正确，则是真命题【思路点拨】先判断p,q的真假，再求结果。【题文】5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是a.b.c.d.【知识点】空间中的平行关系垂直关系g4g5【答案】d【解析】在a选项中，可能有n⊂α，故a错误；在b选项中，可能有n⊂α，故b错误；在c选项中，两平面有可能相交，故c错误；在d选项中，由平面与平面垂直的判定定理得d正确．【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【题文】6.若变量满足条件，则的最小值为a.b.0c.d.【知识点】简单的线性规划问题e5【答案】a【解析】由约束条件作出可行域如图，13联立，解得a（-，-1）；联立，解得c（，）．令z=x+2y，则y=-+．由图可知，当直线y=-+过a时，直线在y轴上的截距最小，z最小为-.【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得答案．【题文】7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是a.b.c.d.【知识点】函数的单调性奇偶性b3b4【答案】b【解析】由奇偶性得为偶函数，当x<0时为减函数，又因为为偶函数且为函数，所以选b。【思路点拨】先求出已知函数的奇偶性和单调性，再确定答案。【题文】8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则a.上单调递减b.上单调递减c.上单调递增d.上单调递增【知识点】三角函数的图象与性质c3【答案】a13【解析】∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵t==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z可解得：kπ≤x≤kπ+，k∈z，当k=0时，x∈[0,]，即g（x）在（0，）上单调递减．【思路点拨】化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由周期可求ω，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间．【题文】9.设函数的零点为的零点为，若可以是a.b.c.d.【知识点】函数与方程b9【答案】d【解析】选项a：x1=1，选项b：x1=2，选项c：x1=1，选项d：x1=；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（13）=2+1-2＞0，g（）=+-2＜0，则x2∈（，）故选d．【思路点拨】首先确定选项a、b、c、d中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．【题文】10.设函数若，则实数t的取值范围是a.b.c.d.【知识点】函数及其表示b1【答案】a【解析】利用排除法，先代入t=0成立，排除b,c。再代入t=2，f(2)=-4,f(-4)=12不成立，故选a.【思路点拨】比较选项代入法求得。二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知向量共线，则t=▲.【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算f2【答案】1【解析】由题意得=（），又与共线，则3t-3=0,t=1.【思路点拨】先求出=（），再根据与共线求得t.【题文】12.设为锐角，若▲.【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切c5【答案】-【解析】由为锐角cos()=,则sin（)=，sin()=sin（（)-）=sin（)cos-cos()sin=-【思路点拨】先求出sin（)=，再sin()=sin（（)-）13=sin（)cos-cos()sin=-【题文】13.计算：▲.【知识点】指数对数b6b7【答案】1【解析】+lg=3-2=1【思路点拨】根据指数和对数的性质求得。【题文】14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为▲.【知识点】椭圆及其几何性质h5【答案】=1【解析】设切点坐标为（m，n）则•=-1即m2+n2-n-2m=0∵m2+n2=4∴2m+n-4=0即ab的直线方程为2x+y-4=0∵线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c-4=0；b-4=0解得c=2，b=4所以a2=b2+c2=20故椭圆方程为=1【思路点拨】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到ab的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入ab的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a，求出椭圆方程．【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是▲.【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案】3213【解析】如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，=32.【思路点拨】先还原几何体再根据体积公式求得。三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）【题文】16.（本小题满分12分）在中，角a、b、c所对的边分别为，且（i）求角c的大小；（ii）若的面积，求的值.【知识点】解三角形c8【答案】（1）c=（ii）【解析】（1）由,可得2sinccosa=2sinb-sina,即2sinccosa=2sin（a+c）-sina，即2sinccosa=2sinacosc+2cosasinc-sina整理得2sinacosc-sina=0，即sina(2cosc-)=0,又a,c，则sina>0,cosC=C=.(2)由题意得=.a.2.=2,a=4,由余弦定理得：=48+4-242=28，所以c=2.13由正弦定理得：=4，则sinA=【思路点拨】由,可得2sinCcosA=2sinB-sinA,2sinAcosC-sinA=0,C=.由余弦定理得：=48+4-242=28，所以c=2.由正弦定理得：=4，则sinA=.【题文】17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，AC=BC，D为AB的中点，且（I）；（II）证明：平面【知识点】单元综合G12【答案】（I）略（II）【解析】(1)如图（I）三棱柱ABC-为直三棱柱，平面ABC，又CD平面ABC13A,又CA=CB,D为AB中点，,由=A,所以，又，，又,CD=C,面又,（II）连接交于点F，连结,FD四边形为平行四边形，则F为中点，又D为AB中点，在中,FD,又平面,平面【思路点拨】面,又,.FD,又平面,平面【题文】18.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，满足：（I）求；（II）数列满足，数列的前项和为，求证.【知识点】单元综合D5【答案】（I）,（II）略【解析】（I）设等差数列的公差为d，由题意得则=（II）由题意得=2=2（1-<2【思路点拨】则13=2=2（1-<2【题文】19.（本小题满分12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件，（I）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（II）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用。试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？【知识点】函数模型及其应用B10【答案】(1)5（II）【解析】(1)设商品的销售价格提高a元，则（10-a）(5+a),即所以商品的价格最多可以提高5元。（II）由题意知改革后的销售收入为mx万元，若改革后的销售收入不低于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx=++50(x>5)即可，即m=+=当且仅当x=10时等号成立，答：销售量至少应达到万件时，才能改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和。【思路点拨】（10-a）(5+a),即，所以商品的价格最多可以提高5元。m=+=，且仅当x=10时等号成立，求结果。【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足O为坐标原点.（I）求椭圆的方程;（II）证明：的面积为定值.13【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】（1）（II）最大值为2，最小值为-2【解析】（1）由椭圆的离心率为可得：=，即a=,又2a==4a=2,c=2,椭圆方程为。（II）设直线AB的方程为y=kx+m,设A（B联立整理得（1+2）+4mx+2=0,,,=-,(k+m)(k+m)==则，设原点到直线AB的距离为d,===2=2.当直线斜率不存在时，有A(2，),B(2，-),d=2=2,即为定值为2。【思路点拨】：=，即a=,又2a==4得，利用向量的数量积求得。【题文】21.（本小题满分14分）设函数.13（I）当时，求的极值；（II）设A、B是曲线上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行，直线AB的斜率为，是否存在，使得若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用B12【答案】（1）=,=（II）不存在【解析】（1）函数的定义域为（0，+）当m=时，=0，得x=2或x=x(0,)（，2）2（2，+）-0+0-单调递减单调递增单调递减由上表可知=,=(2)设A（B，由题意可得又，为方程的两个正根，故且，即mln-+mln-=m(ln-ln)-若存在实数m使得m-k=1，则k==-1+m即ln-ln=，又，所以-2ln=0，，令h(t)=t--2lnt,(0<t<1),1+>013所以h(t)在（0,1）上单调递增，h(t)</t<1),1+></a<1,是的充分而不必要条件。【思路点拨】先求出a的范围求出充分而不必要条件。【题文】3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是a.8b.16c.32d.64【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案】c【解析】由=，，=32.【思路点拨】根据等比数列的性质得。【题文】4.已知命题：命题.则下列判断正确的是a.p是假命题b.q是真命题c.是真命题d.是真命题【知识点】命题及其关系a213【答案】c【解析】由重要不等式得正确，得不正确，则是真命题【思路点拨】先判断p,q的真假，再求结果。【题文】5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是a.b.c.d.【知识点】空间中的平行关系垂直关系g4g5【答案】d【解析】在a选项中，可能有n⊂α，故a错误；在b选项中，可能有n⊂α，故b错误；在c选项中，两平面有可能相交，故c错误；在d选项中，由平面与平面垂直的判定定理得d正确．【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【题文】6.若变量满足条件，则的最小值为a.b.0c.d.【知识点】简单的线性规划问题e5【答案】a【解析】由约束条件作出可行域如图，13联立，解得a（-，-1）；联立，解得c（，）．令z=x+2y，则y=-+．由图可知，当直线y=-+过a时，直线在y轴上的截距最小，z最小为-.【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得答案．【题文】7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是a.b.c.d.【知识点】函数的单调性奇偶性b3b4【答案】b【解析】由奇偶性得为偶函数，当x<0时为减函数，又因为为偶函数且为函数，所以选b。【思路点拨】先求出已知函数的奇偶性和单调性，再确定答案。【题文】8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则a.上单调递减b.上单调递减c.上单调递增d.上单调递增【知识点】三角函数的图象与性质c3【答案】a13【解析】∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵t==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z可解得：kπ≤x≤kπ+，k∈z，当k=0时，x∈[0,]，即g（x）在（0，）上单调递减．【思路点拨】化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由周期可求ω，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间．【题文】9.设函数的零点为的零点为，若可以是a.b.c.d.【知识点】函数与方程b9【答案】d【解析】选项a：x1=1，选项b：x1=2，选项c：x1=1，选项d：x1=；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（13）=2+1-2＞0，g（）=+-2＜0，则x2∈（，）故选d．【思路点拨】首先确定选项a、b、c、d中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．【题文】10.设函数若，则实数t的取值范围是a.b.c.d.【知识点】函数及其表示b1【答案】a【解析】利用排除法，先代入t=0成立，排除b,c。再代入t=2，f(2)=-4,f(-4)=12不成立，故选a.【思路点拨】比较选项代入法求得。二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知向量共线，则t=▲.【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算f2【答案】1【解析】由题意得=（），又与共线，则3t-3=0,t=1.【思路点拨】先求出=（），再根据与共线求得t.【题文】12.设为锐角，若▲.【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切c5【答案】-【解析】由为锐角cos()=,则sin（)=，sin()=sin（（)-）=sin（)cos-cos()sin=-【思路点拨】先求出sin（)=，再sin()=sin（（)-）13=sin（)cos-cos()sin=-【题文】13.计算：▲.【知识点】指数对数b6b7【答案】1【解析】+lg=3-2=1【思路点拨】根据指数和对数的性质求得。【题文】14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为▲.【知识点】椭圆及其几何性质h5【答案】=1【解析】设切点坐标为（m，n）则•=-1即m2+n2-n-2m=0∵m2+n2=4∴2m+n-4=0即ab的直线方程为2x+y-4=0∵线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c-4=0；b-4=0解得c=2，b=4所以a2=b2+c2=20故椭圆方程为=1【思路点拨】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到ab的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入ab的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a，求出椭圆方程．【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是▲.【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案】3213【解析】如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，=32.【思路点拨】先还原几何体再根据体积公式求得。三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）【题文】16.（本小题满分12分）在中，角a、b、c所对的边分别为，且（i）求角c的大小；（ii）若的面积，求的值.【知识点】解三角形c8【答案】（1）c=（ii）【解析】（1）由,可得2sinccosa=2sinb-sina,即2sinccosa=2sin（a+c）-sina，即2sinccosa=2sinacosc+2cosasinc-sina整理得2sinacosc-sina=0，即sina(2cosc-)=0,又a,c，则sina>
