2022-2022学年山东省临沂市费县、沂南、罗庄三县联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上。1．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．642．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形3．对于任意实数a，b，c，d，命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．44．已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于()A．B．C．2D．5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定-17-\n6．下列函数中，最小值为4的函数是()A．B．C．y=ex+4e﹣xD．y=log3x+logx817．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=()A．15B．12C．﹣12D．﹣158．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=()A．﹣B．C．﹣D．9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于()A．7B．5C．4D．310．已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．∪，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．18．已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．19．某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．-17-\n20．（13分）在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．21．（14分）若数列{an}的前n项和为Sn，a1=2且Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3…）．（I）求a2，a3；（II）求证：数列{an﹣2an﹣1}是常数列；（III）求证：．-17-\n2022-2022学年山东省临沂市费县、沂南、罗庄三县联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上。1．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】直接根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论．【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，故选A．【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．【专题】计算题．【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，所以b=c，三角形ABC为等腰三角形．-17-\n故选C【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力．掌握用全等来证明线段相等的方法．3．对于任意实数a，b，c，d，命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【考点】不等式的基本性质．【专题】阅读型．【分析】根据题意，结合不等式的有关性质，依次分析5个命题的正误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析5个命题，①若a＞b，c＜0，则ac＜bc，故错误；②当c=0时，则ac2=bc2，故错误；③若ac2＞bc2，因为c2＞0，则a＞b；正确；④当a＞0＞b时，＞0＞，故错误；⑤若a＞b＞0，当0＞c＞d时，ac＜bd．则只有③正确；故选A．【点评】本题考查不等式的性质，解题时，注意各个性质的限制条件．-17-\n4．已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于()A．B．C．2D．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得，由此能求出该数列的公比．【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，∴，∴10q3=，解得q=．故选：A．【点评】本题考查等比数列的公式的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，-17-\n由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．6．下列函数中，最小值为4的函数是()A．B．C．y=ex+4e﹣xD．y=log3x+logx81【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件．【解答】解：∵ex＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当ex=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=ex+4e﹣x的最小值为4，故选C．【点评】本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等”．7．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=()A．15B．12C．﹣12D．﹣15【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3-17-\n∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．8．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=()A．﹣B．C．﹣D．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于()A．7B．5C．4D．3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：-17-\n由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．10．已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．∪∪【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】由题意可知△=16b2﹣12b＜0，进而求出b的范围．【解答】解：对任意实数x，x2﹣4bx+3b＞0恒成立，∴△=16b2﹣12b＜0，∴b（4b﹣3）＜0，∴0＜b＜．故答案为0＜b＜．【点评】考查了二次函数和二次不等式的关系．属于基础题型，应熟练掌握．-17-\n12．数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1是以1为首项、为公比的等比数列，则{an}的通项公式an=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1是以1为首项、为公比的等比数列，可得an﹣an﹣1=，再利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）即可得出．【解答】解：∵数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1是以1为首项、为公比的等比数列，∴an﹣an﹣1=，∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=1+++…+==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在△ABC中，如果a=2，c=2，∠A=30°，那么△ABC的面积等于2或．【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；分类讨论；分类法；三角函数的求值；解三角形．【分析】由A的度数求值sinA的值，再由a、c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而求出B的度数，确定出sinB的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵a=2，c=2，A=30°，∴由正弦定理，-17-\n得：sinC==，∴C=60°或120°，∴B=90°或30°，则S△ABC=acsinB=2或．故答案为：2或．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），则a2022的值为﹣4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】利用a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），先分别求出a3，a4，a5，a6，a7，得到数列{an}是以6为周期的周期数列，由此能求出a2022的值．【解答】解：∵a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），∴a3=5﹣1=4，a4=4﹣5=﹣1，a5=﹣1﹣4=﹣5，a6=﹣5+1=﹣4，a7=﹣4+5=1，a8=1+4=5，…∴数列{an}是以6为周期的周期数列，∵2022=336×6，∴a2022=a6=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是对数列周期性的发现，是中档题．-17-\n15．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（1，0），动点P（x，y）是△ABC内的点（包括边界）．若目标函数z=ax+by的最大值为2，且此时的最优解所确定的点P（x，y）是线段AC上的所有点，则目标函数z=ax+by的最小值为﹣2．【考点】简单线性规划的应用．【专题】数形结合．【分析】先根据三顶点A（0，2），B（﹣1，0），C（1，0），画出可行域，设z=ax+by，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线ax+by=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+by取最大值时的最优解有无数个，从而得到a，b值，最后再求出目标函数z=ax+by的最小值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=ax+by，将最大值转化为y轴上的截距，当直线ax+by=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+by取最大值时的最优解有无数个，将﹣等价为斜率，数形结合，得kAC=﹣2=﹣，且a×1+b×0=2，∴a=2，b=1，z=2x+y当直线z=2x+y过点B时，z取最小值，最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了简单线性规划，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．三、解答题：本大题共6个小题。共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA-17-\n（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．-17-\n所以y≥﹣2．所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2，所以即，解得a≥．所以a的取值范围是【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=﹣=n，∴数列{an}的通项公式是an=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n+（﹣1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{bn}的前2n项和为22n+1+n﹣2．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．-17-\n19．某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，每批价值3000x元．由题意知y=×360+3000kx，当x=400时，y=43600，解得k=，∴y=×360+100x≥2=24000（元）当且仅当×360=100x，即x=120时等号成立．此时x=120台，全年共需要资金24000元．故只需每批购入120台，可以使资金够用．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．20．（13分）在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．【考点】三角形的形状判断；正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）整理求得sinAsinB=sin2-17-\nC，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b2=a2+c2，推断出三角形为直角三角形．（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．【解答】解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．【点评】本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（14分）若数列{an}的前n项和为Sn，a1=2且Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3…）．（I）求a2，a3；（II）求证：数列{an﹣2an﹣1}是常数列；（III）求证：．【考点】数列的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知S2=4a1﹣2=6．所以a2=S2﹣a1=4．a3=8．（2）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）；所以an+1=4an﹣4an﹣1由此入手能推导出数列{an﹣2an﹣1}是常数列．-17-\n（3）由题设条件知an=2n，所以．由此及彼可知．【解答】解：（1）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴S2=4a1﹣2=6．∴a2=S2﹣a1=4．同理可得a3=8．（2）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）．两式相减得：an+1=4an﹣4an﹣1变形得：an+1﹣2an=2an﹣4an﹣1=2（an﹣2an﹣1）（n≥2）则：an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an﹣2）（n≥3）an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an﹣2）=22（an﹣2﹣2an﹣3）=23（an﹣3﹣2an﹣4）=2n﹣2（a2﹣2a1）∵a2﹣2a1=0∴an﹣2an﹣1=2n﹣2（a2﹣2a1）=0．数列{an﹣2an﹣1}是常数列．（3）由（II）可知：an=2an﹣1（n≥2）．数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴an=2n，∴．．（14分）【点评】本题考查数列的性质及综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．-17-
