高二第一学期第一次月考数学试题(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}2．在等差数列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于( )A．－10 B．－2 C．2 D．103．已知集合M＝{x|x2<4}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x<－2} B．{x|x>3}C．{x|－1<x<2} D．{x|2<x<3}4．已知p＝a＋(a>2)，q＝(x∈R)，则p、q的大小关系为( )A．p≥q B．p>qC．p<q D．p≤q5．经过点A(－1,4)，且斜率为－1的直线方程是( )A．x＋y＋3＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0D．x＋y－5＝06．在△ABC中，内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝( )A． B．C． D．7．已知数列{log2xn}是公差为1的等差数列，数列{xn}的前100项的和等于100，则数列{xn}的前200项的和等于( )A．100×(1＋2100) B．100×2100C．1＋2100 D．2008．已知△ABC中，AB＝，AC＝1且B＝30°，则△ABC的面积等于( )-9-\nA． B．C．或 D．或9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝60°，△ABC的面积为3，那么b等于( )A．2 B．2C． D．10．若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )A．5 B．6C．7 D．811、在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A.B．C.D．12、某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1200人，则该年级抽取的学生数为( )A．20B．30C．24D．25第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在R上定义运算⊙；a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为________．14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.15．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.16．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为__________．-9-\n三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和为Sn，18．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；(2)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．19．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝lg(8＋2x－x2)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，求集合M，N，M∩N.-9-\n21．(本小题满分12分)已知m∈R且m<－2，试解关于x的不等式：(m＋3)x2－(2m＋3)x＋m>0.22．(本小题满分12分)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.-9-\n高二第一学期第一次月考数学试题答案(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．A2．A3．C4．A5． C6． D7． A由已知，得log2xn＋1－log2xn＝1，∴＝2，∴数列{xn}是以2为公比的等比数列．∵数列{xn}的前100项的和等于100，由定义得，数列{xn}的前200项的和等于100×(1＋2100)．8． D c＝AB＝，b＝AC＝1，B＝30°.由于csinB＝×＝，csinB＜b＜c，∴符合条件的三角形有两个．∵＝，即＝.∴sinC＝.∴C＝60°或120°，∵A＝90°或30°，-9-\n∴S△ABC＝或.9． B∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，平方得a2＋c2＝4b2－2aC．又S△ABC＝3且B＝60°.∴acsinB＝acsin60°＝ac＝3.解得ac＝12，∴a2＋c2＝4b2－24.由余弦定理得，cosB＝＝＝＝.解得b2＝12.∴b＝2.10．B画出x，y约束条件可行域，(如图)由题意A(，)，B(－1，－1)，C(2，－1)知平行直线y＝－2x，过C点时有最小值zmin＝3，过B点时有最大值zmax＝3，过B点时有最小值zmin＝－3，∴m－n＝6，选B．11、B 利用几何概型公式求解，在区间为[－2,3]上随机选取一个数x，则x≤1，即－2≤x≤1的概率为P＝.12、C抽样比：＝，∴高一抽取：1200×＝24.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)-9-\n二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(－2,1)14． 215．1016．作出可行域如图(包括边界)当直线z＝ax＋y经过A点，位于直线l1与x＋2y－3＝0之间时，z仅在点A(3,0)处取得最大值，∴－a<－，∴a>.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．解(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋D．依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋D．依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，18．解(1)∵a＋b＋c＝8，a＝2，b＝，∴c＝8－2－＝.由余弦定理，得cosC＝＝＝－.-9-\n(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，可得sinA·＋sinB·＝2sinC，化简得：sinA＋sinB＋sin(A＋B)＝4sinC，即sinA＋sinB＝3sinC，由正弦定理可得a＋b＝3C．又a＋b＋c＝8，∴a＋b＝6 ①又面积S＝absinC＝sinC，∴ab＝9 ②解①②得a＝3，b＝3.19．解 如题图，设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC．于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0.解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得＝.于是，sinα＝＝＝，即sin∠CED＝.(2)由题设知，0<α<，于是由(1)知，cosα＝＝＝.而∠AEB＝－α，所以cos∠AEB＝cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝－cosα＋sinα＝－×＋×＝.-9-\n在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故BE＝＝＝4.20．解由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，∴(x－4)(x＋2)<0，∴－2<x<4.∴M＝{x|－2<x<4}．由1－≥0，得≥0，∴x≥3或x<1.∴N＝{x|x<1或x≥3}．∴M∩N＝{x|－2<x<1或3≤x<4}．21．解当m＝－3时，不等式变成3x－3>0，得x>1；当－3<m<－2时，不等式变成(x－1)[(m＋3)x－m]>0，得x>1或x<；当m<－3时，得1<x<.综上，当m＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m<－2时，原不等式的解集为(－∞，)∪(1，＋∞)；当m<－3时，原不等式的解集为(1，)．22．解(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)an＝2n，bn＝，则bn＝＝(－)．Tn＝(1－＋－＋…＋－＋－)＝(1－)＝.-9-
