高级中学2022—2022年(一)期中考试高三年级数学(文科)学科测试卷一、选择题（12×5=60分）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．是虚数单位，复数（）A．B．C．D．3．设,b=log3,，则它们的大小关系是：（ ）A．B．C．D．4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )A．B．C．D．5．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A．1B．-1C．D．6、知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于()ABCD7．实数x，y满足条件，则3x＋5y的最大值为（）.A．12B．9C．8D．38．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c。若bcosB=acosA，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形-14-\n9．已知函数在上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，b-c=2cosA=则a的值为（）A．8B．16C．32D．6411．在正方体中，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12、的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（4×5=20分）13．函数f(x)=log2x+的定义域是14．已知，则的值为15．若cos=，则.16．如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是.三、解答题（5×12=60分）-14-\n17、已知函数（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在区间上的单调性.18、各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和．19、Sn是正项数列的前项和，且，等比数列的公比，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，记，求．20．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，点分别为棱-14-\n的中点.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.21、函数f（x）=x3+ax2+bx+a2.（1）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（2）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为,直线的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为,(α为参数)，点P在曲线C1上，其极角为，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线的距离的最大值．23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．高级中学2022—2022年(一)期中考试高三年级数学(文科)学科测试卷答案-14-\n一、选择题（12×5=60分题号123456789101112答案DCBACDADBAAB二、填空题（4×5=20分）13、14、15、16三、解答题（5×12=60分）17、【答案】（1），（2）解：（1）由题意得=．∴，．（2）∵，∴．∴当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．即在上单调递增，在上单调递减．18、【答案】（1）；（2）．（1）设等差数列的公差为（），则解得∴．-14-\n（2）由，∴，．∴．∴．19、解：（Ⅰ）当时，由题意得，，，，∵，∴，又当时，，∵，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴．由，，得，解得或（舍），∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，-14-\n记，则，∴，∴，∴．20、解：(1)连结，则在三角形中为中位线，于是因为为中点，所以平行且等于.所以在平行四边形中，平行于因为在平面上，所以平行于平面（2）因为垂直于，垂直于，所以垂直于平面，于是垂直于平面，三角形的面积为，三角形的面积为由得，，到平面的距离为.21（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10即解得或经验证，若则f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2当x>1或x<1时，均有f'（x）>0，可知此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去符合题意，故.-14-\n（II）当a=-1时，f（x）=x3-x2+bx+l若f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，即x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立即b<在x∈[1，2]恒成立令g（x）=，则g'（x）==（法一：由g'（x）=0解得x=1…）（法二）由-2x3+x2+1=1-x3+x2（1-x）可知x∈[1，2]时g'（x）<0即g（x）=在x∈[1，2]单调递减（g（x））max=g（2）=-∴b<-时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立.22．解:(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.……………………………3分由得x＋2y＝3，所以直线的普通方程为x＋2y－3＝0.………………5分(2)由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为(2，2)．……………………7分设点Q(2cosα，sinα)，则PQ的中点M的坐标为.………………8分点M到直线的距离d＝＝≤.所以点M到直线的距离的最大值为.……………………………10分)-14-\n23．解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|=|a＋2|…………3分当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.……………………………5分(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.……………………………8分因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x=1时，(－x－2)max=－3；当x=2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．………………………10分-14-\n高级中学2022—2022年(一)期中考试高三年级数学(文科)学科测试卷答案一、选择题（12×5=60分题号123456789101112答案DCBACDADBAAB二、填空题（4×5=20分）13、14、15、16三、解答题（5×12=60分）17、【答案】（1），（2）解：（1）由题意得=．∴，．（2）∵，∴．∴当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．即在上单调递增，在上单调递减．18、【答案】（1）；（2）．（1）设等差数列的公差为（），-14-\n则解得∴．（2）由，∴，．∴．∴．19、解：（Ⅰ）当时，由题意得，，，，∵，∴，又当时，，∵，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴．由，，得，解得或（舍），∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，-14-\n∴，记，则，∴，∴，∴．20、解：(1)连结，则在三角形中为中位线，于是因为为中点，所以平行且等于.所以在平行四边形中，平行于因为在平面上，所以平行于平面（2）因为垂直于，垂直于，所以垂直于平面，于是垂直于平面，三角形的面积为，三角形的面积为由得，，到平面的距离为.21（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10即解得或经验证，若则f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2当x>1或x<1时，均有f'（x）>0，可知-14-\n此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去符合题意，故.（II）当a=-1时，f（x）=x3-x2+bx+l若f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，即x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立即b<在x∈[1，2]恒成立令g（x）=，则g'（x）==（法一：由g'（x）=0解得x=1…）（法二）由-2x3+x2+1=1-x3+x2（1-x）可知x∈[1，2]时g'（x）<0即g（x）=在x∈[1，2]单调递减（g（x））max=g（2）=-∴b<-时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立.22．解:(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.……………………………3分由得x＋2y＝3，所以直线的普通方程为x＋2y－3＝0.………………5分(2)由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为(2，2)．……………………7分-14-\n设点Q(2cosα，sinα)，则PQ的中点M的坐标为.………………8分点M到直线的距离d＝＝≤.所以点M到直线的距离的最大值为.……………………………10分)23．解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|=|a＋2|…………3分当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.……………………………5分(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.……………………………8分因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x=1时，(－x－2)max=－3；当x=2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．………………………10分-14-
