高级中学2022-2022（一）期中考试高二年级文科数学第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知命题，，则（ ）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，2.设四边形的两条对角线为,，则“”是“四边形为菱形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.双曲线的焦点坐标是()A.B.C.D.4．在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5.已知一个圆柱底面半径为2，体积为，则此圆柱的表面积为（）A.B.C.D.6.已知且与互相垂直，则的值是（）A..1B.C.D.7.关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则-9-\n8.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（）A..B..C..D..9.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A.B.C.D.以上都不对10．已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．11椭圆＋=1上一点M到左焦点的距离为2，N是M的中点，则2等于（）A.3B.4C.8D.1612．已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分13.命题“”为假命题，则实数a的取值区间为14.已知点在双曲线：上，的焦距为6，则它的离心率为__________．15．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是______-9-\n16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知命题关于的方程有实数根命题方程表示双曲线（1）若是真命题，求的取值范围。（2）若命题是真命题，求的取值范围。18.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，短轴长为8。（1）求的方程（2）是椭圆上位于第一象限内的一点，且,求的面积。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为，求证：(1)(2)20．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面为菱形，且为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.-9-\n21.（本小题满分12分）在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于两点．（1）写出的方程；（2）若，求的值；22.（本小题满分12分）设，分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值．参考答案一、选择题题号123456789101112选项CBACADDABCCA二、填空题1314.315.16.（1）（2）（4）171819证明：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，-9-\n所以平面．（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．20．(Ⅰ)连接CO.∵，∴△AEB为等腰直角三角形．∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1.又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACB是等边三角形，∴CO＝.又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝.∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC，∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝，∴点D到平面AEC的距离为.-9-\n21（1）（2）解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．22．（1）；（2）(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.-9-\n参考答案一、选择题题号123456789101112选项CBACADDABCCA二、填空题1314.315.16.（1）（2）（4）171819证明：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．20．(Ⅰ)连接CO.∵，∴△AEB为等腰直角三角形．∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1.-9-\n又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACB是等边三角形，∴CO＝.又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝.∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC，∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝，∴点D到平面AEC的距离为.21（1）（2）解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，-9-\n所以，．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．22．（1）；（2）(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.-9-
