2022-2022-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）一．选择题：1．复数（）A．B．C．D．2．“”是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．4．已知函数，则函数的零点所在的区间是()A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）5．的展开式的常数项是（）A．－3B．－2C．2D．36．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A．B．C．D．7．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．B．C．D．48．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．二．填空题：9．在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为___________．-9-11．如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则_____．12．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ(ρ≥0)，直线l的参数方程为(t为参数)，设直线l与抛物线C的两交点为A，B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|＋|BF|＝__________.13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为．14．已知函数的图像与函数的图像没有公共点,则实数的取值范围是____________．三．解答题：15．已知函数.（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最值.16．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.(Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.-9-17．在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.18．设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．19．已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.20．已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；-9-(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案一．选择题：1．A2．A3．C4．B5．D6．C7．A8．D二．填空题：9．84；乙10．7＋，11．112．13．914．三．解答题：15．解：（Ⅰ）由得(Z)，故的定义域为RZ}．…………………2分因为，………………………………6分所以的最小正周期．…………………7分（II）由…………..9分当，…………….11分-9-当.……………….13分16．解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.…………………3分(Ⅱ）随机变量的可能取值为.，，，.…………….11分随机变量的分布列为：因为，所以随机变量的数学期望为.…………….13分17．（Ⅰ）证明：连接∵是长方体，∴平面，又平面∴……1分在长方形中，∴…………2分又∴平面，…………3分而平面∴………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则,………5分设平面的法向量为，则令，则-9-………7分…………8分所以与平面所成角的正弦值为………………9分（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.设的坐标为，则因为∥平面所以，即，，解得，………………12分所以在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……13分18．解：（Ⅰ）由题意，，则当时，.两式相减，得（）.……………………………………………2分又因为，，，……………………………………………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……………………5分所以数列的通项公式是（）.………………………………6分（Ⅱ）因为，所以，……………………8分两式相减得，，………11分整理得，().………………………………13分19．（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.因为，所以，.设椭圆方程为,………2分由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以-9-………4分………6分………8分又直线与椭圆相切，由解得，所以…………10分则.所以.又所以，解得.经检验成立.所以直线的方程为.………14分20．解：(1)…………1分时,取得极值,…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知由,得-9-令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.当时,,于是在上单调递增;当时,,于是在上单调递减.…………6分依题意有,解得,…………9分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.…11分,故(当且仅当时,等号成立)对任意正整数,取得,…………12分故.…………14分（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立.假设时，成立，则时，有.做差比较：-9-构建函数，则，单调递减，.取，即，亦即，故时，有，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式都成立.-9-
