2022-2022学年天津市河西区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知角α终边经过点P（-4a，3a）（a＜0），则2sinα+cosα的值为（ ）A.−25B.25C.0D.−25或253.下列函数中，随x（x＞0）的增大，增长速度最快的是（ ）A.y=1B.y=xC.y=2xD.y=ex4.函数y=sin2x是（ ）A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数5.给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|=|b|，则a=b；③若AB=DC，则ABCD为平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有AB=DC；⑤若m=n，n=p，则m=p其中不正确的个数是（ ）A.2B.3C.4D.56.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A.2B.2sin 1C.2sin1D.sin27.为得到函数y=cos（x+π3）的图象，只需将函数y=sinx的图象（ ）A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度8.已知定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x），满足：∀x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，则方程f（x）=-x2+4x-2解的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.若sinθ=-45，tanθ＞0，则cosθ=______．10.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=______．11.函数y=cosx−12的定义域为______．12.已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=______．11/11\n1.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•bt，Q=a•logat．利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是______；（Ⅱ）最低种植成本是______（元/100kg）．2.若函数f（x）=log2x+x-k在区间（2，3）上只有一个零点，则k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）3.化简下列各式：（Ⅰ）cos2（-α）−tan(360°+α)sin(−α)；（Ⅱ）11−tanθ−11+tanθ．4.已知sinα=-45，α∈(π，3π2)，cosβ=12，（3π2，2π），试求：（1）sin2α的值； （2）cos（α-β）的值．5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，试用a，b表示向量MA，MB，MC和MD吗？11/11\n1.在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，B=2π3，求sinA+sinC的取值范围．2.已知线段AB和AB外点O，求证：（Ⅰ）若M是线段AB的中点，则OM=12（OA+OB）；（Ⅱ）若AP=tAB（t∈R），则OP=（1-t）OA+tOB．3.已知函数f（x）=3sinωx+φ2cosωx+φ2+sin2ωx+φ2（ω＞0，0＜φ＜π2）的周期为π，且过点（π3，1）（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的值域．11/11\n答案和解析1.【答案】B【解析】解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选：B．直接由三角函数的象限符号取交集得答案．本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2.【答案】A【解析】解：∵角α的终边经过点（-4a，3a），a＜0；∴x=-4a，y=3a，r==-5a∴sinα==-，cosα==，∴2sinα+cosα=2×=；故选：A．利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为y=ax是指数函数，且当a＞1，底数越大，增速越快故选：D．根据幂函数、指数函数与一次函数的增长差异，即可得出结论．本题考查了指数函数，幂函数与一次函数的增长差异问题，解题时应熟记基本初等函数的图象和性质．4.【答案】D【解析】解：∵函数y=sin2x中ω=2∴最小正周期为T==π又∵y=sin2x满足f（-x）=-f（x）∴函数y=sin2x是奇函数因此，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数故选：D．根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案．本题给出三角函数式，求函数的周期与奇偶性．着重考查了三角函数的周期公式和函数奇偶性判断等知识，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：对于①，两个向量相等时，若它们的起点相同，则终点也相同，①错误；对于②，若||=||，则=不一定成立，②错误；对于③，若=，则ABCD不一定构成四边形，③错误；11/11\n对于④，平行四边形ABCD中，||=||，且方向相同，∴=，④正确；对于⑤，若=，=，根据向量相等的定义知=，⑤正确；综上，其中不正确的序号是①②③，共3个．故选：B．根据两向量相等的定义判断①错误，②错误；根据=时ABCD不一定构成四边形，判断③错误；根据平行四边形的定义与向量相等的定义，判断④正确；根据向量相等的定义判断⑤正确．本题考查了向量相等的概念与应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题给出扇形的圆心角和弦长，求扇形的弧长．着重考查了解直角三角形、弧长公式及其应用的知识，属于基础题．作出辅助线，利用解直角三角形求出扇形的半径，是解决问题的关键．设扇形OAB中∠AOB=2，过0点作OC⊥AB于点C，延长OC交弧AB于D点．在Rt△AOC利用三角函数的定义求出半径AO长，再代入弧长公式加以计算，可得所求弧长的值．【解答】解：如图所示，设扇形OAB中，圆心角∠AOB=2，过0点作OC⊥AB于点C，延长OC，交弧AB于D点，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，∵Rt△AOC中，AO==，得半径r=，∴弧AB长l=α•r=2•=．故选B．7.【答案】C【解析】解：∵函数y=cos（x+）==∴为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度故选：C．先利用诱导公式化简，再利用左加右减的平移规律，即可得到结论．本题考查诱导公式的运用，考查三角函数图象的平移，正确运用左加右减的平移规律是关键．8.【答案】D【解析】解：由于定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x）满足f（f（x）-lnx）=1，f（x）=-x2+4x-2，故必存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1①，11/11\n∴f（a）-lna=a②．由①②求得a=1，故f（x）=1+lnx，方程f（x）=-x2+4x-2，即1+lnx=-x2+4x-2，即-x2+4x-3=lnx．故方程解的个数即函数y=-x2+4x-3的图象和函数y=lnx的图象的交点个数．数形结合可得函数y=-x2+4x-3的图象和函数y=lnx的图象的交点个数为3，故选：D．由题意可得，存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1，求得a=1，可得f（x）的解析式，方程即-x2+4x-3=lnx．故方程解的个数，即函数y=-x2+4x-3的图象和函数y=lnx的图象的交点个数，数形结合可得结论．本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．9.【答案】−35【解析】解：由已知，θ在第三象限，∴，∴cosθ=．故答案为：-．根据sin2θ+cos2θ=1可得答案．本题主要考查简单的三角函数的运算．属于基础知识、基本运算的考查．10.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD=AC，又O为AC的中点，∴AC=2AO，∴AB+AD=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．故答案为：2．【解析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．11.【答案】[2kπ-π3，2kπ+π3]，k∈Z【解析】解：由y=，得到cosx-≥0，即cosx≥，解得：2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，11/11\n则函数的定义域为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．答案：[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．根据负数没有平方根，以及余弦函数的值域确定出函数定义域即可．此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握算术平方根定义及余弦函数的值域是解本题的关键．12.【答案】9π10【解析】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π-）=，∴=，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值-1，因此×+φ=2kπ-（k∈Z）．∵-π≤φ＜π，∴φ=．故答案为：根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值-1，以及-π≤φ＜π，求出φ即可．本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意-π≤φ＜π的应用，考查计算能力．13.【答案】120 80【解析】解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Q=at+b，Q=a•bt，Q=a•logbt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（60，116），（100，84），（180，116）分别代入Q可得，，解得a=，b=-，c=224，∴Q=t2-t+224，（I）Q=t2-t+224的对称轴为t=120，开口向上，在对称轴处即t=120天时函数取最小值；11/11\n（Ⅱ）当t=120时，Q=×1202-×120+224=80；故答案为：120，80．由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得函数解析式；（I）根据Q的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；（Ⅱ）由（I）中的结论，即可得到答案．本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．14.【答案】（3，3+log23）【解析】解：∵函数f（x）=log2x+x-k在区间（2，3）上单调递增，又∵函数f（x）=log2x+x-k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，∴f（2）f（3）＜0，即（3-k）（3+log23-k）＜0，解得3＜k＜3+log23，k的取值范围是：（3，3+log23）．故答案为：（3，3+log23）．由题意可得f（2）f（3）＜0，解关于k的不等式，即可．本题考查函数零点的判定定理，涉及不等式的解法，属基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）cos2（-α）−tan(360°+α)sin(−α)=cos2α−tanα−sinα=cos2α+1cosα；（Ⅱ）11−tanθ−11+tanθ=1+tanθ−1+tanθ1−tan2θ=2tanθ1−tan2θ=tan2θ．【解析】（Ⅰ）由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简即可；（Ⅱ）通分后由二倍角的正切得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．16.【答案】解：（1）∵sinα=-45，α∈(π，3π2)，∴cosα=-35∴sin2α=2sinαcosα=2425；（2）∵11/11\ncosβ=12，（3π2，2π），∴sinβ=-32∴cos（α-β）=(−35)⋅12+(−45)⋅(−32)=−3+4310．【解析】（1）利用诱导公式、二倍角公式，即可得出结论；（2）利用差角的余弦公式，即可得出结论．本题考查差角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．17.【答案】解：平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则MA=-12AC=-12（AB+AD）=-12a-12b，MB=12DB=12（AB-AD）=12a-12b，MC=-MA=12a+12b，MD=-MB=-12a+12b．【解析】根据平面向量的线性运算法则，用、表示出、、和．本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．18.【答案】解：sinA+sinC=sinA+sin(π3−A)=sinA+32cosA-12sinA=12sinA+32cosA=sin(A+π3)．∵A∈(0，π3)，∴(A+π3)∈(π3，2π3)，∴sin(A+π3)∈(32，1]．【解析】利用和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11/11\n19.【答案】证明：（Ⅰ）如图所示：已知线段AB和AB外点O，在△OAB中，延长OM到D，使OM=MD，则：OD=2OM=OA+AD，由于AD=OB，所以：OM=12（OA+OB）；（Ⅱ）由于：AP=tAB（t∈R），则：OP−OA=t(OB−OA)，整理得：OP=（1-t）OA+tOB．【解析】（Ⅰ）直接利用向量的线性运算求出结果．（Ⅱ）利用向量的线性运算和三角形法则求出结果．本题考查的知识要点：三角形法则的应用，向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：（1）f（x）=3sinωx+φ2cosωx+φ2+sin2ωx+φ2=32sin（ωx+φ）-12cos（ωx+φ）+12=sin（ωx+φ-π6）+12，T=2πω=π，∴ω=2，∵函数图象过点（π3，1），∴f（π3）=sin（2•π3-π6+φ）+12=1，即sin（π2+φ）=cosφ=12，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，∴f（x）=sin（2x+π6）+12，11/11\n（2）∵x∈[0，π2]，∴2x+π6∈[π6，7π6]，∴sin（2x+π6）∈[-12，1]，∴0≤sin（2x+π6）+12≤32，即函数f（x）在区间[0，π2]上的值域为[0，32]．【解析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期求得ω，利用已知点求得φ，得到函数解析式．（2）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用三角函数的性质求得函数的值域．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数的图象能熟练掌握．11/11
