四川省雅安中学2022届高三数学上学期第一次月考试题理

四川省雅安中学2022届高三数学上学期第一次月考试题理注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知集合，，则的子集个数为（   ）A．2B．4C．7D．82．设a,b为向量，则“|a⋅b|=|a||b|”是“a//b”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知集合，，，则（）A．或B．或C．或D．或4．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．2B．C．D．15．已知=,则=A．B．C．D．6．已知函数y=sinx与y=cos2x+φ(0<φ≤2π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的一个可能的取值为（）A．7π6B．C．5π6D．11π67．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，且f(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-∞,-3)∪(0，3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-3,0)∪(0，3)8．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为，且2S=a2+b2-c2，则tanC=（）3\nA．B．1C．2D．29．若，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．10．下列几个命题：①a>0Δ=b2-4ac<0是不等式ax2+bx+c>0的解集为R的充要条件；②设函数y=fx的定义域为R，则函数fx与f-x的图象关于y轴对称；③若函数y=Asinωx+ϕA≠0为奇函数，则ϕ=kπ,k∈Z；④已知x∈0,π2，则y=cosx+2cosx的最小值为22；其中不正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个11．已知函数f(x)=x3-3x2+3,x<2-4(x2-5x+6),x≥2，则函数f(f(x))的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．912．已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标原点）的斜率为，则（）A．存在点P使得k≥1B．对于任意点P都有k<1C．对于任意点P都有k<0D．至少存在两个点P使得k=-13\n第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知α为第二象限角，cos(π2-α)=35，则sin2α=________14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为45∘，则此山的高度CD=______m.15．已知函数fx=-x2-2x,x≤mx-4,x>m,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．16．已知定义在实数集R的函数fx满足f(2)=7，且fx导函数f'(x)<3，则不等式flnx>3lnx+1的解集为__________。三、解答题17．已知命题p:曲线y=x2+(2m-3)x+1与x轴没有交点；命题q:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数m的取值范围.18．函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数g(x)=f(x)-cos2x,求g(x)在区间0,π2上的最小值.19．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosAc=2cosC．(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为23，a+b=6，求边c的长．3\n20．已知为fx二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x，（1）求fx的表达式；（2）设g(x)=f(2x)-m⋅2x+1，其中x∈0,1，m为常数且m∈R，求函数g(x)的最小值.21．已知函数（且）是定义在上的奇函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.22．已知f(x)=eax-1-2mx,a∈R,m∈R，e为自然对数的底数.（1）当a=1时，若函数f(x)存在与直线y=2x平行的切线，求实数m的取值范围；（2）当m=0时，g(x)=lnxx，若h(x)=f(x)-g(x)的最小值是a，求a的最小值.\n理数参考答案1-5DCADC6-10ABDDC11-12CB【解析】【分析】根据集合交集的定义和集合中子集的个数的计算公式，即可求解答案．【详解】由题意集合B={x∈R|0≤x≤2}={0,1,2}，∴A∩B={0,1,2,3}∩{0,1,2}={0,1,2}，∴A∩B的子集个数为23=8．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算及子集个数的判定，其中熟记集合交集的运算和集合中子集个数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2．C【解析】先讨论充分性：由|a⋅b|=|a||b|得|a||b||cosα|=|a||b| ∴|cosα|=1 ∴cosα=±1 ∴α=00或1800 ∴a||b所以“|a⋅b|=|a||b|”是“a//b”的充分条件.再讨论必要性：因为a//b，所以α=00或1800,|a||b||cosα|=|a||b|，所以“|a⋅b|=|a||b|”是“a//b”的必要条件.故选C.3．A【解析】试题分析:由可知是的真子集，所以，满足,故应选A.考点：集合的并集运算.4．D【解析】由题,,切线方程为,即,与坐标轴的交点为(0.2)和(1,0)所以与坐标轴围成的三角形的面积为,故选D.5．C\n【解析】因为=,所以.点睛：本题考查分段函数的求值问题。对于求分段函数的函数值，要首先确定要求值的自变量属于区间，所以，此时然后代入这一段的解析式根据指数及对数的运算性质求值，另外注意当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．6．A【解析】【分析】根据题意将点坐标代入得到交点为π3,32，代入y=cos2x+φ(0<φ≤2π)得到cos2π3+φ=32，进而得到角φ.【详解】由题意，将交点的横坐标代入得到交点为π3,32，再代入y=cos2x+φ(0<φ≤2π)得到cos2π3+φ=32，所以2π3+φ=π6+2kπ或-π6+2kπ，所以一个可能的取值为7π6，故选A.【点睛】这个题目考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ωx+φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x。7．B【解析】分析：求出f(x)g(x)的导数，由已知确定其正负，从而得单调性，再利用奇偶性得出结论．详解：设F(x)=f(x)g(x)，∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴F(x)=f(x)g(x)是R上的奇函数，从而\nF(-3)=f(-3)g(-3)=0，∴F(3)=0，且F(0)=0．[来源:Zxxk.Com]x<0时，F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，∴F(x)在(-∞,0)上是增函数，从而F(x)在(0,+∞)上也是增函数．∴F(x)=f(x)g(x)<0的解为(-∞,-3)∪(0,3)．故选B．点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题时只要确定导数的正负就可以得出函数单调性，同时由奇函数的性质得出F(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调性一致是解题关键．8．D【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出，再利用余弦定理表示出cosC，变形后代入已知等式，进而求出sinC，最后得出tanC的值【详解】∵S=12absinC，cosC=a2+b2-c22ab∴2S=absinC，a2+b2-c2=2abcosC代入已知等式2S=a2+b2-c2可得：absinC=2abcosC∵ab≠0，∴sinC=2cosCtanC=sinCcosC=2故选D【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系，运用三角形面积公式代入化简，属于基础题9．D【解析】由题意：，由幂函数的单调性可得：，即，且：.\n本题选择D选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．10．C【解析】a=b=0,c>0时，不等式ax2+bx+c>0的解集为R，①错，②③正确，只有cosx=2时，y的最小值为22，但这是不可能的，④错，因此有2个错误，故选C．点睛：不等式ax2+bx+c>0的解集为R或恒成立，对这个不等式容易出现的错误是总认为是一元二次不等式，没有考虑系数为0的情形，从而会出现错误，直接利用判别式求解，在没有说明此不等式ax2+bx+c>0是一元二次不等式的时候一定要分类讨论，即分a=0和a≠0，同时在a=0时，还要分b=0和b≠0两类再讨论．对所有出现ax2+bx+c的问题中都要有这个认识．11．C【解析】分析：根据题目所给分段函数的解析式，画出函数图像，通过图像分析函数零点的个数。详解：画出函数的图像，如图所示，令f(x)=t，因为f(f(x)）=0则f(t)=0由图像可知，f(t)=0有四个解，分别为t1=2,t2=3,-1<t3<0,1<t4<2\n由图像可知，当t1=2时，f(x)=2有两个根，即f(f(x)）=0有2个零点；由图像可知，当t2=3时，f(x)=3有一个根，即f(f(x)）=0有1个零点；由图像可知，当-1<t3<0时，f(x)=t有三个根，即即f(f(x)）=0有3个零点；由图像可知，当1<t4<2时，f(x)=t有两个根，即即f(f(x)）=0有2个零点；12．B【解析】分析：任取正实数，则直线OP的斜率为k=yx=sinx+lnxx，利用k=sinx+lnxx的性质，逐一判定，即可求解.详解：任取正实数，则直线OP的斜率为k=yx=sinx+lnxx，因为y=sinx+lnx≤lnx+1，又由lnx+1≤x成立，因为y=sinx+lnx≤lnx+1和lnx+1≤x中两个个等号成立条件不一样，所以y=sinx+lnx<x恒成立，即k=sinx+lnxx<1恒成立，排除A；当π2≤x<π时，y=sinx+lnx>0，则k=sinx+lnxx>0，排除C；对于D选项，至少存在两个点P使得k=-1，即sinx+lnxx=-1至少存在两解，即sinx+lnx+x=0至少有两解，又因为sinx+lnx+x'=cosx+1x+1>0恒成立，所以sinx+lnx+x=0至多有一个解，排除D，综上所述，选项B是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数k=sinx+lnxx，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力.13．-242514．3002【解析】【分析】先根据已知条件得∠ACB=45°，在ΔACB中利用正弦定理计算BC，再由ΔDCB为等腰直角三角形，即可求出结果.\n【详解】由题意可知AB=600m，∠CAB=30°，∠CBA=105°，ΔDCB为等腰直角三角形，CD=BC在ΔACB中，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=45°，由正弦定理BCsin∠CAB=ABsin∠ACB∴BC=600sin30°sin45°=3002.故答案为3002.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.15．-2,0∪4,+∞【解析】【分析】根据m与-2，0和4的大小关系逐一判断f（x）的零点个数即可得出结论．【详解】若m＜-2，则f（x）在（-∞，m]上无零点，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；若-2≤m＜0，则f（x）在（-∞，m]上有1个零点x=-2，在（m，+∞）上有1个零点x=4，符合题意；若0≤m＜4，则f（x）在（（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；若m≥4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=00，在（m，+∞）上无零点，符合题意；∴-2≤m＜0或m≥4．故答案为：-2,0∪4,+∞．【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，属于中档题．16．0,e2【解析】【分析】构造函数gx=fx-3x-1，求函数的导数，判断函数的单调性，结合g2=f2-3×2-1=0\n即可得到结论.【详解】设t=lnx，则不等式flnx>3lnx+1等价为ft>3t+1，设gx=fx-3x-1，则g'x=f'x-3，∵fx的导函数f'x<3，∴g'x=f'x-3<0，函数gx=fx-3x-1单调递减，∵f2=7，∴g2=f2-3×2-1=0，则此时gt=ft-3t-1>0=g2，解得t<2，即ft>3t+1的解为t<2，所以lnx<2，解得0<x<e2，即不等式flnx>3lnx+1的解集为0,e2，故答案为0,e2.17．-∞，12∪2，52.【解析】分析：分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p真q假和p假q真，求出m的范围即可．详解：由y=x2+(2m-3)x+1与x轴没有交点，知∆＜0，∴12<m＜；由q：f（x）=﹣（5﹣2m）x在R上是减函数，知5﹣2m＞1，∴m＜2由题意p，q一真一假，若p真q假，2≤m<52．若p假q真，m≤12综上所述，m的取值范围为-∞，12∪2，52点睛：“p∨q”，“p∧q”“¬p”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p,q的真假；（3）确定“p∨q”，“p∧q”“¬p”等形式命题的真假.18．（1）T=π,f(x)=sin2x+π6；（2）-12.【解析】【分析】1由图象可得A=1，T2=π2，从而可求ω，再由图象经过点π6，1可以求得φ\n，代入即可写出函数的解析式2求出gx=sin2x-π6，以2x-π6为整体求值即可【详解】(1)由图可得A=1,T2=2π3-π6=π2,所以T=π,因此ω=2.当x=时,由f(x)=1,可得sin2×π6+φ=1,即+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin2x+π6.(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos2x=sin2x+π6-cos2x=32sin2x+cos2x-cos2x=32sin2x-cos2x=sin2x-π6,因为x∈0,π2,所以-≤2x-π6≤5π6,故当2x-=-,即x=0时,函数g(x)取最小值-12.【点睛】本题主要考查了y=Asinωx+φ的部分图象确定其解析式，只要结合图形代入点坐标计算就可以得到答案，还考查了三角函数的最值，属于基础题。19．（1）C=π3；（2）23【解析】【分析】（1）利用余弦定理得cosB和cosA，代入已知条件，即可求出角C的大小；（2）利用三角形面积公式得ab=8，再利用余弦定理，即可求出边c的长．【详解】解：(1)由余弦定理可得：acosB+bcosA=a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc=2c22c=c，∴acosB+bcosAc=1，cosC=12，又∵C∈0，π，∴C=π3(2)∵S△ABC=12absinC=23，∴ab=8，又∵a+b=6，∴c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12，，\n∴c=2320．（1）f（x）=x2﹣2x﹣1；（2）见解析.【解析】【分析】因为f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x所以2ax2+2bx+2a+2c=（1）用待定系数法，设出fx的解析式，代入f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x中，求出系数即可．（2）设t=2x，t∈1，2即可得到g（t）=t2-（2m+2）t-1=[t-（m+1）]2-（m2+2m+2），再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出最小值．【详解】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c2x2﹣4x故有即，所以f（x）=x2﹣2x﹣1(2)、g(x)=f(2x)-m⋅2x+1=（2x)2-(2m+2)•2x-1设t=2x,t∈1,2y=t2-(2m+2)•t-1=t-m+12-(m2+2m+2)当m+1≻2,即m≻1时�y=t2-2m+2•t-1在t∈1,2为减函数�当t=2,ymin=-4m-1;,当m+1<1,即m<0时�y=t2-(2m+2)•t-1在t∈1,2为增函数�当t=1,ymin=-2m-2,3)0≤m≤1时当t=m+1,ymin=-(m2+2m+1)综上所述：g（x）min=-4m-1，m＞1-2m-2，m＜0-m2-2m+2，0≤m≤1．  【点睛】\n本题考查了求二次函数的解析式的问题，以及二次函数的性质，属于中档题．21．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由函数为奇函数可得，即，可得．（Ⅱ）分离常数可得，故函数为增函数，再由，可得，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得在时恒成立，令，则有，根据函数的单调性可得函数的最大值，从而可得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）∵是上的奇函数，∴，即.整理可得．（注：本题也可由解得，但要进行验证）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴函数在上单调递增，又，∴，∴．∴函数的值域为．\n（Ⅲ）当时，．由题意得在时恒成立，∴在时恒成立．令，则有，∵当时函数为增函数，∴.∴.故实数的取值范围为．点睛：解决函数中恒成立问题的常用方法（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为（或）恒成立的问题求解，此时只需求得函数的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．22．（1）-1，+∞；（2）a的最小值为-1e2.【解析】【分析】（1）求出导函数f'(x)，则f'(x)=2有实数解，由此可得m的范围；（2）考虑到g(x)的表达式，题意说明h(x)≥a在(0,+∞)上恒成立，且“＝”可取，这样问题又可转化为即xeax-1-lnx-ax≥0恒成立，且“=”可取.，即Q(x)=xeax-1-lnx-ax的最小值是\n0．Q'(x)=(ax+1)(eax-1-1x)，为求Q'(x)的零点，由eax-1-1x=0得a=1-lnxx，再由导数求得1-lnxx的最小值是-1e2．由于题中要求a的最小值，因此研究a≤-1e2时Q'(x)的正负，从而得Q(x)的最小值，可证得此最小值≥0，且为0时a只有一解a=-1e2，这样得出结论．【详解】（1）因为f'(x)=ex-1-2m,因为函数y=f(x)存在与直线y=2x平行的切线，所以f'(x)=ex-1-2m=2在R上有解,即2+2m=ex-1在R上有解，所以2+2m>0，得m>-1,故所求实数m的取值范围是(-1,+∞).（2）由题意得：h(x)=eax-1-lnxx≥a对任意x>0恒成立，且“=”可取，即xeax-1-lnx-ax≥0恒成立，且“=”可取.令Q(x)=xeax-1-lnx-ax，即Q(x)min=0Q'(x)=(ax+1)(eax-1-1x)，由eax-1-1x=0,得a=1-lnxx，令p(x)=1-lnxx,p'(x)=lnx-2x2,p(x)在(0,e2)递减，在(e2,+∞)递增，∴p(x)min=p(e2)=-1e2.当a≤-1e2时，a≤1-lnxx,即eax-1-1x≤0，在(0,-1a)上，ax+1>0,Q'(x)≤0,Q'(x)递减；在(-1a，+∞)上，ax+1<0,Q'(x)≥0,Q'(x)递增.所以Q(x)min=Q(-1a).令t=-1a∈(0,e2],Q(-1a)=M(t)=te2-lnt+1,在(0,e2]上递减，所以M(t)≥M(e2)=0，故方程Q(x)min=Q(-1a)=0有唯一解-1a=e2,即a=-1e2,综上，当a≤-1e2时，仅有a=-1e2满足h(x)的最小值为a，故a的最小值为-1e2.【点睛】本题考查用导数研究函数的几何意义，研究函数的单调性与最值，属于难题．解题过程中要注意问题的等价转化，方程有解转化为函数的最值，函数的最值变化后又转化为方程有解．