遂宁中学高2022级十月考试题数学（理科）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.1．已知全集，集合，，则等于A．B．C．D．2.双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．3.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A．20辆B．40辆C．60辆D．80辆4.“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.函数A.是偶函数且为减函数B.是偶函数且为增函数C.是奇函数且为减函数D.是奇函数且为增函数6.已知实数满足条件，则使得目标函数取得最大值的的值分别为A．0，12B．12，0C．8，4D．7，5开始i=0输入正整数nn为奇数?n=3n+1n=n/2i=i+1n=1?输出i结束97．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为A.B.C.D.8.在右侧程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是A．3B．4C．5D.69.抛物线的焦点为,点在此抛物线上，且，弦的中点在该抛物线准线上的射影为，则的最大值为A．B．C．1D．10.中，，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。11．若为纯虚数（为虚数单位），则实数=.12．已知则＝.13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆。现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．14．在含有3件次品的10件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，算得如下一组期望值：当n=1时，;当n=2时，;当n=3时，;……观察以上结果，可以推测：若在含有件次品的件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，则=．15．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为9，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是．（填上所有正确结论的序号）①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；③函数的值域为；④方程有两个解.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数（）的周期为4。（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小。17.（本小题满分12分）.为迎接新年到来，某商场举办有奖竞猜活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的。正确回答问题A可获得奖金元，正确回答问题B可获得奖金元。活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止。假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获救金额的期望值较大.（第18题）18.（本小题满分12分）如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．（Ⅰ）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（Ⅱ）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为，其余的人听“美术鉴赏”9课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用分别表示在第次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(Ⅰ)若，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数；(Ⅱ)（ⅰ）证明数列是等比数列，并用表示；（ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求的取值范围．20.（本小题满分13分）已知椭圆.（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；（Ⅱ）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；（Ⅲ）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.图（1）图（2）21.（本小题满分14分）已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最大值．遂宁中学高2022级十月考试题数学（理科）评分标准一．选择题；题号12345678910答案BCABDDACDA9二．填空题：11.12.13.(或)14.15．②③三．解答题：16.解：（1）………6分（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以所以所以………12分17.设该参与者猜对问题A的概率为，则，猜对问题B的概率为，参与者回答问题有两种顺序：顺序一：先A后B此时参与者获得奖金额的可能值为：，，，，从而数学期望；................................5分顺序二：先B后A此时参与者获得奖金额的可能值为：，，，，从而数学期望；...........................9分而：，则：当时：先回答A，当两者兼可，时先回答B.........12分918.解：（Ⅰ)∵侧面底面，作于点，∴平面.又，且各棱长都相等，∴，，.…2分故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，．……4分设平面的法向量为，则解得.………5分由．而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为．………6分（Ⅱ）∵，而∴又∵，∴点的坐标为．…………9分假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．∵，为平面的法向量，∴由，得．…………10分又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点．…………12分19.(Ⅰ)由已知，又，,∴，∴，∴．……………………………………4分(Ⅱ)（ⅰ）由题意得，，……………………5分，---------------------------6分，，数列是等比数列，得----------------------8分（ⅱ）前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列的前10项和，9，…10分由已知，，得，，，…………………11分，∴的取值范围是,且．……12分20.解：（Ⅰ）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;------------------1分证1：设，则（2）-（1）得：，-----------2分仅考虑斜率存在的情况·---------------------4分证2：设AB：与椭圆联立得：，-------------------------------2分所以------4分（Ⅱ）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，即，所以点B处的切线QB：----------------6分令，，令，所以---------------8分又点B在椭圆的第一象限上，所以，当且仅当9所以当时，三角形OCD的面积的最小值为---10分（没写等号成立扣1分）（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：又过点，所以，又可理解为点在直线上同理点在直线上，所以直线MN的方程为：----12分所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切. ------13分21.本题满分14分.解：（Ⅰ）∵，∴.------------------------1分∵与直线垂直，∴，∴.------------3分（Ⅱ）∵，∴.------4分由题知在上有解，∵,-----------------------------------5分设，则∴只须------------7分，故的取值范围为.-------------8分（Ⅲ）∵，∴令，得：∴，法1：∵-------------10分∵，∴设，令----------11分则，∴在上单调递减．-----------------12分又∵，∴，即9∵，∴，∴，，故所求最小值为---------------------14分法2：同上得----------------------10分令，则------------------11分≥0----------------------------12分在上为增函数.当时,故所求最小值为---------------------14分9
