遂宁中学高2022级十二月考试题数学（理科）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积S=4πR2,体积V=πR3,其中R为球的半径柱体的体积V=Sh,锥体的体积V=Sh,其中S为底面积,h为高.第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集，集合，则集合=（ ）A. B.C. D.2.在复平面内，复数对应的点在 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数列是等差数列，且，则的值为A. B. C. D.4.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.已知、是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.6.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 （ ）A.5 B.6 C.7 D.87.若的展开式中第四项为常数项，则n=（）A.4 B.5 C.6 D.78.函数 （ ）9A.在上递增，在上递减B.在上递增，在上递减C.在上递增，在上递减D.在上递增，在上递减9.点在同一个球的球面，,,若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为 （ ）A. B. C. D.10．已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11.已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.12．若，则13．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为_____________.14.在中，，则 。15．已知为互不相等的三个正实数，函数可能满足如下性质：①为奇函数；②为奇函数；③为偶函数；④为偶函数；⑤．类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：(i)若满足①②，则的一个周期为；(ii)若满足①③；则的一个周期为；(iii)若满足③④，则的一个周期为；(iv)若满足②⑤；则的一个周期为．其中正确结论是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤916.（本小题满分12分）已知数列的前项和，满足。（Ⅰ）求数列的前三项；（Ⅱ）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式。17.（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为，求的分布列和期望18（本小题满分12分）(1)求值:.(2)求值:（3）已知,,求值919.（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧棱底面，，是棱上动点，是的中点，（Ⅰ）当是中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由。20.（本小题满分12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明点到直线的距离为定值，并求出定值。21.（本小题满分14分）A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数组成的集合：（1）对任意，都有；（2）存在常数,使得对任意的，都有（1）设，证明：（2）设，如果存在，使得，那么是唯一的（3）设，任取，使得，证明：给定正整数K,对任意正整数P,都有9遂宁中学高2022级十二月考试题数学（理科）答案1．∵，∴，故选C2．∵， ∴点在第二象限，故选B。3．∵，∴，∴，∴，故选A。4．D解析：由三视图可知，此几何体为底面半径r为1cm、高h为3cm的圆柱上部去掉一个半径为R为1cm的半球，所以其体积为5．D，则中点为，则舍去)。6．B 按框图推演可得的值为6，故选B7．B 的展开式中第四项为，又第四项为常数项，所以，从而，故选B。8．A 当时，为增函数，当时，为减函数。9.C∵，∴是直角三角形，∴的外接圆的圆心是边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又平面ABC，所以点D是直线与球的交点设球的半径为R，则由体积公式有：在中，，解得：，故选C10.A【解析】由得，，所以函数的周期是2.由。得，分别作出函数的图象，因为。所以若，由图象可知要使函数9至少6个零点，则满足。此时。若，由图象可知要使函数至少6个零点，则满足，此时。所以取值范围是，选A.11．12．令得①，令得②，由①②联立，可得，，从而．13．3解析：当时，不等式组所表示的平面区域如图中的M，是一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能，此时不等式组所表示的平面区域如右图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则，即点B的坐标为（1，4），所以.914． 又 ∴ ∴ ∴再由余弦定理得： ①将展开得： ∴将其角化边得：②将①代入②得：左右两边同除以得： ③解③得：或（舍）∴15.【解析】由的图象知，两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为，对称中心与距其最近的对称轴的距离为，若满足①②，则的两个相邻对称中心分别为，，从而有，即；若满足①③，则的对称轴为，与对称轴相邻的对称中心为，有，即；若满足③④，则的两个相邻的对称轴为和，从而有，即；若满足②⑤，则的对称中心为，与其相邻的对称轴为，从而有，即．故只有(iii)(iv)错误16．解：(Ⅰ)在中分别令得： 解得： (Ⅱ)由 得：两式相减得：9故数列是以为首项，公比为2的等比数列。所以17．解析：(Ⅰ)第二组的频率为，所以高为 频率直方图如下：第一组的人数为，频率为，所以第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以第四组的频率为，第四组的人数为所以(Ⅱ)因为风年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人，随机变量X服从超几何分布。，所以随机变量的分布列为X0123P∴数学期望19.解：（1）证明，取的中点G，连结EG，FG∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴∥又∵∥∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG4分∵平面AEB1，EG平面AEB1∴∥平面AEB（2）以C点为坐标原点，射线CA，CB，CC1为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设，平面的法向量.则9由得∵平面∴是平面EBB1的法向量，则平面的法向量∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值为，则解得∴在棱上存在点E，符合题意，此时20．解：(Ⅰ)由得，即，∴由右焦点到直线的距离为，得：，解得所以椭圆的方程为(Ⅱ)设(1)当存在时，设直线的方程为，与椭圆联立消去得∴即，∴整理得，并且符合，所以到直线的距离，所以定值为(2)当不存在时，同理可求得到直线的距离为，所以定值为9
