四川省绵阳南山中学205-2022学年高二数学上学期期中试题理本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题，共48分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、抛物线的焦点的坐标是（）、、、、2、已知直线与直线垂直，则实数的值为（）、、或、或、3、已知等差数列中，，其前项和为，则()、、、、不确定4、过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）、2条、3条、4条、无数多条5、已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为，则椭圆的离心率的值为（）、、、、6、若圆的方程为，直线的方程为，则圆关于直线对称的圆的方程为（）、、、、7、已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）、、-8-\n、、8、已知圆和圆，则这两个圆的公切线的条数为（）、0、、、49、已知等比数列中，，，则数列的前10项和为（）、、、、2410、椭圆的焦点为、，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的()、倍、倍、倍、倍11、已知、是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为正三角形，则双曲线的离心率的值为（）、、、、12、已知抛物线的方程为，一条长度为的线段的两个端点、在抛物线上运动，则线段的中点到轴距离的最小值为（）、、、、第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空题:本大题共4小题，每小题3分，共12分.13、已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且.若的面积为，则.14、已知直线与圆心为的圆相交于、两点，且为等边三角形，则实数.-8-\n15、已知等差数列的公差，为其前项的和.若，则数列的前和取得最小值时，的值为.16、给出下列命题：①直线的倾斜角是；②已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则有；③已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则的内心始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为.三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分10分）已知一圆经过点，,且它的圆心在直线上.(1)求此圆的方程;(2)若点为所求圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.18、（本题满分10分）已知数列的前项和为，且，，数列满足.(1)求的表达式；（2）求数列的前项和.19、（本题满分10分）给定直线，抛物线.(1)当抛物线的焦点在直线上时，求的值；（2）若的三个顶点都在（1）所确定的抛物线上，且点的纵坐标，的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程.20、（本题满分10分）-8-\n已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标.绵阳南山中学2022年秋季高2022级半期考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.12题解答：如图所示，设线段的中点为，分别过点、、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、、,则点到轴的距离等于，当且仅当三点共线时，等号成立.二、填空题:本大题共4小题，每小题3分，共12分.13、314、15、716、②③16、解答：③设的内切圆与边、、分别相切于点、、三点，则所以,故点在过双曲线右支的顶点且与轴垂直的直线上.三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.17、（本题满分10分）解：（1）法一：由已知可设圆心，又由已知得,从而有，解得：.……（2分）-8-\n于是圆的圆心,半径.……（4分）所以，圆的方程为.……（5分）法二：∵,,∴,线段的中点坐标为，……（1分）从而线段的垂直平分线的斜率为，方程为即……（2分）由方程组解得，所以圆心,半径,……（4分）故所求圆的方程为.……（5分）（2）法一：设，，则由及为线段的中点得：解得：.……(7分)又点在圆上，所以有，化简得：.……（9分）故所求的轨迹方程为.……（10分）法二：设，又点是圆上任意一点，可设.……（6分）∵，点是线段的中点，∴有，……（8分）消去参数得：.故所求的轨迹方程为.……（10分）18、（本题满分10分）解：（1）∵，∴当时，.……（1分）-8-\n当时，.∵时，满足上式，∴.……（3分）又∵，∴，解得：.故，，.……（5分）（2）∵，，∴…①…②……（7分）由①-②得：……（9分）∴，.……（10分）19、解：（1）∵抛物线的焦点在轴上，且其坐标为（2分）∴对方程，令得：.……（3分）从而由已知得，.……（4分）（2）由（1）知：抛物线的方程是，.又∵点在抛物线上，且，∴.……（5分）延长交于点，则由点是的重心得：点为线段的中点.设点，则由得：，解之得：.∴……（7分）设，则由点在抛物线上得：，两式相减得：，又由点为线段的中点得，.……（9分）-8-\n∴直线的方程为，即.……（10分）20、解：（1）∵,即.又，所以.……（2分）又因为，即，所以，所以.故椭圆的方程为.……（4分）（2）法一：由消去得.因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，且，即，化简得.（*）……（6分）此时，，所以由得……（7分）从而以线段为直径的圆的方程满足，化简得.……（8分）由对称性知，点必在轴上.而当时，,易得，此式恒成立.故命题成立.定点坐标为.……（10分）法二：由消去得.因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，且，即，化简得.（*）……（6分）此时，，所以-8-\n由得.……（7分）因为存在定点满足条件，由图形对称性知：点必在轴上.取此时以为直径的圆的方程为交轴于,;取，此时，以为直径的圆的方程为，交轴于点.所以满足条件的点存在，其必为.……（8分）下面证明点满足条件.因为所以，故恒有,故点恒在以线段为直径的圆上.……（10分）-8-
