2022年秋四川省棠湖中学高三第三学月考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，集合，则A．B．C．D．3.角的终边经过点，且，则A.B.C.D.4.已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若当时,函数取得最大值,则A．B．C．D．6.《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则小满日影长为A.尺B.尺C.尺D.尺7．函数的图象大致为8．已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为10\nA．2B．C．1D．9.已知函数,则=A．-1B．0C．1D．210．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是A．(3.5，＋∞)B．(1，＋∞)C．(4，＋∞)D．(4.5，＋∞)11．己知直线与双曲线右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足(其中O为坐标原点)，且，则双曲线C的渐近线方程为A．B．C．D．12．已知，若存在，使得，则称函数互为“n度零点函数”．若与(e为自然对数的底数)互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中的项的系数为__________．14.曲线在点处的切线与直线垂直,则实数15．在平面四边形，则AD的最小值为____________．16.函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。10\n（一）必考题：共60分。17.（本大题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)设数列的前n项和为，求证：．18.（本大题满分12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示.(Ⅰ)估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；(Ⅱ)若要从体重在，内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取3人，记体重在内的人数为，求其分布列和数学期望.19.（本大题满分12分）如图,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,为的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.10\n20.（本小题满分12分）直线与椭圆交于，两点，已知，，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.21.（本大题满分12分）已知函数（）．(Ⅰ)为的导函数，讨论的零点个数；(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4—4：坐标系与参数方程]10\n22.（本大题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．23．（本大题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)，都有恒成立，求的取值范围．10\n2022年秋四川省棠湖中学高三第三学月考试数学（理）试卷答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.D2.A3.C4.C5.B6.C7.C8.A9.D10.B11.B12.B二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．4014.15.16.三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）解析：（1）设公差为d，由题解得，．2分所以．4分（2）由（1），，则有．则．所以12分18．解：(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为：2分故估计100名学生的平均体重约为:4分（2）由(1)及已知可得：体重在的男生分别为：6分从中用分层抽样的方法选5人，则体重在内的应选3人，体重在内的应选2人从而的可能取值为1，2，3且得：10\n10分其分布列为：P123故得：12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直,∴,∵矩形菱形,∴平面,∵平面,∴,……………………3分∵菱形中,,为的中点．∴,即……………………5分∵,∴平面．……………………6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知两两垂直,以A为原点,AG为x轴,AF为y轴,AD为z轴,建立空间直角坐标系,设,则,故,,,,则,,,设平面的法向量,则,取,得,设平面的法向量,10\n则,取,得,……………10分设二面角的平面角为,则,……………11分易知为钝角,∴二面角的余弦值为．……………………12分20.解：（1）∵∴∴椭圆的方程为…………………4分（2）①当直线斜率不存在时，即，由已知，得又在椭圆上，所以,三角形的面积为定值．…………………6分②当直线斜率存在时：设的方程为必须即得到，…………………8分∵，∴10\n代入整理得：所以三角形的面积为定值．…………………12分21.解：（1），，…………………1分，，且当时，，，所以；当时，，，所以．…………………3分于是在递减，在递增，故，所以①时，因为，所以无零点；②时，，有唯一零点；③时，，……………………………………5分取，，则，，于是在和内各有一个零点，从而有两个零点．…………………6分（2）令，，，，．…………………………………………………8分①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意；…………………………………………………10分②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，所以在上递减，又，所以在10\n上递减，则，不符合题意．综上，．………………………………………………………………………………………12分22.（1），（2）（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．……………………4分（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…………………………10分23．解：（1）∵，等价于，或，或，得或或；解集为．………………………………………………5分（2）化为由于，∴，当且仅当时取“”∴．………………………………………………10分10
